Dirichle Printsipi Quyidagi vazifani ko'rib chiqing. Vazifa 1

Vazifa 9.500 qutilarda olma bor. Ma'lumki, har bir qutida 240 dan ortiq olma yo'q. Bir xil miqdordagi olma o'z ichiga olgan kamida 3 quti borligini isbotlang.
Qaror.Birinchi 240 qutilarda turli xil olma (1,2,...,240), keyingi 240 qutida - xuddi shunday (ya'ni, ekstremal holat tahlil qilinadi; ushbu usul haqida batafsilroq "ekstremal printsip" mavzusida tasvirlangan). Shunday qilib, qoldi 500 - 2·240 = 1 dan 240 gacha olma qo'yish kerak bo'lgan 20 quti.
Vazifa 10.Qutida 10 qizil qalam, 8 ko'k, 8 yashil va 4 sariq bor. Tasodifiy (o'zboshimchalik bilan)nqalam qutidan chiqariladi. Ular orasida bo'lishi uchun olib tashlanishi kerak bo'lgan qalamlarning eng kichik sonini aniqlang:
a)
bir xil rangdagi kamida 4 qalam;
b)
har bir rangdagi bitta qalam;
c)
kamida 6 ko'k qalam.
Qaror.a)13 ta qalamni olib tashlang. Dirichle printsipiga ko'ra bizda faqat 4 rang bor (qalamlar "ob'ektlar" va ranglar "qutilar" bo'ladi), kamida 4 qalam bir xil rangda bo'ladi.
Докажем, что N= 13 eng kichik son ekanligini isbotlaymiz. Shu maqsadda biz vazifa shartlari bajarilmaydigan vaziyatni ko'rsatamiz. Masalan, har bir rangdagi 3 ta qalam chiqarilganda (12 ta qalam). E'tibor bering, bu holat mumkin, chunki qutida har bir rangning kamida 3 ta qalam bor.
Случаи B)vaC) holatlarixuddi shunday hal qilinadi.
Vazifa 11.Xalqaro simpoziumda 17 kishi ishtirok etadi. Har bir inson uchta tilni bilmaydi va har qanday ikki ishtirokchi bir-biri bilan muloqot qilishlari mumkin. Kamida uchta ishtirokchi bir xil tilni bilishini isbotlang.
Qaror.Aishtirokchilardan biri bo'lsin. U 16 ishtirokchining har biri bilan taniqli uchta tildan bittasida muloqot qilishi mumkin. KeyinAkamida oltita ishtirokchi bilan gaplashadigan til mavjud.Bhar qanday bo'lsin. Qolgan 5 ishtirokchilari orasida 3 mavjud bo'lib, ular bilan bir xilBtilda muloqot qilish mumkin (biz uni "ikkinchi til"deb ataymiz). Agar ushbu uchta ishtirokchi orasida kamida ikkitasibo'lsa, CvaD deylik, "ikkinchi til" da gaplashishi mumkin, keyinB,CvaDbir xil tilda gapiradigan uch kishi bor.
Ba'zi muammolar, ayniqsa geometrik, quyidagi formulalarda Dirichle printsipidan foydalangan holda hal qilinadi:
a)
Agar uzunligilsegmentida bir nechtasegmentlar mavjud bo'lsa, ularning uzunligi ldan kattaroq bo'lsa, unda kamida ikkita segment umumiy nuqtaga ega;
b)
Agar s maydoni ichidasmaydonlarining yig'indisis dan katta bo'lgan raqamlarbo'lsa, ular orasida umumiy nuqtaga ega bo'lgan kamida ikkita raqam mavjud;
c)
Agar shakllarF₁,F₂bo'lsa ... ,F_n S₁,S₂, ... ,S_n- ularning maydoniga mos ravishda)F площадью svas₁+S_{2 + f maydonida joylashgan}... +S_n>kS, keyink + 1 из фигур f₁,F_{2, shakllaridan k + 1}... .F_numumiy nuqtaga ega.