Аналитическая геометрия на плоскости

Классификация центральных кривых второго порядка (случай )

Попробуем дальше упростить уравнение (*). Выберем новую декартову систему координат , которая получается из поворотом координатных осей на некоторый угол α.

Тогда формулы замены координат имеют вид

Подставляя в (*), имеем


Раскроем скобки и приведем подобные при одинаковых координатах. Тогда коэффициент будет равен
/
Приравняем это выражение к нулю, и получившееся уравнение разделим на :
.
Это квадратное уравнение относительно неизвестного , его дискриминант
.
Значит, всегда существует такой угол α, что в новой системе координат мы получим уравнение кривой (*) без слагаемого, . В результате наше уравнение будет иметь вид
, (***)
где и - некоторые коэффициенты, которые необходимо определить.
Примем без доказательства, что коэффициенты и являются корнями уравнения
;
или в развернутом виде:
.
где - след матрицы А.
Оно называется характеристическим уравнением кривой второго порядка.
Согласно теореме Виета получаем

Относительно новой системы координат получаем
,
;
/
Таким образом, величины не изменяются при переходе к новой декартовой системе координат. Поэтому они называются инвариантами кривой второго порядка.
При дальнейшем упрощении уравнения (***) возможны два случая.
1 случай: . Если опустить штрихи, то уравнение (***) можно переписать в виде

Обозначим .
а) . Тогда и одного знака, и , т.е. знак  противоположен знаку и . Поэтому оба знаменателя в (17) положительны, и уравнение (15) задает эллипс:

б) . Тогда оба знаменателя отрицательны, и уравнение имеет вид
.
Говорят, что оно задает мнимый эллипс. На действительной плоскости это пустое множество.
в) . Тогда и имеют разные знаки, и поэтому знаменатели также имеют разные знаки.
Получаем уравнение
или
В любом случае получается уравнение гиперболы.
2 случай: . В этом случае уравнение (***) принимает вид (штрихи опускаем):
.
Обозначим .
а) . Тогда и разного знака и последнее уравнение можно переписать в виде , откуда
.
Этому уравнению удовлетворяют точки, для которых и точки для которых . Поэтому оно определяет пару прямых, очевидно, пересекающихся в центре и симметричных относительно координатных осей.

б) . Тогда и имеют одинаковые знаки и уравнение (***) можно переписать в виде , откуда
(i – мнимая единица).
При этом говорят, что уравнение задает пару мнимых пересекающихся прямых. Но пересекаются они в действительной точке центре кривой.
В случае кривая тоже имеет центр (бесконечное количество центров).
Пример 1. С помомщью переноса начала координат и поворота координатных осей привести уравнепние кривой второго порядка

к каноническому виду. Определить тип кривой и изобразить ее в исходной системе координат.
Решение. Общее уравнение кривой второго порядка на плоскости имеет вид

Если
,
то кривая имеет центр , координаты которого можно найти из системы линейных уравнений:
.
Если совершим параллельный перенос начала координат в точку , то уравнение кривой примет вид
?
где

Вычисляем
.
Значит, кривая имеет центр. Найдем координаты центра :

Для решения применим правило Крамера:
,

.

Значит, центр кривой находится в точке . Совершим перенос начала координат в точку и получаем новую декартову систему координат .
Формулы замены координат имеют вид

Однако делать эту подстановку в исходное уравнение кривой не следует, т.е. заранее из теории знаем, что получится в результате этой подстановки: линейная часть уравнения исчезнет, а находим по формуле
.
Имеем

и уравнение данной кривой второго порядка в новой системе координат:

Далее совершаем поворот координатных осей на угол α, тангенс которого находится по формуле
,
,
откуда или .
Можно выбрать любое из них. Но, как правило, выбираем такое α, для которого .
Имеем: /
Получим новую систему координат . Формулы замены координат имеют вид

В нашем случае:

Подставим эту замену в уравнение кривой в новой систепме координат, получим
,

Слагаемые, содержащие произведение , обязательно должны сократиться. Если это не происходит, то следует искать ошибку выше.

.
Это уравнение задает эллипс с полуосями . Строим эллипс.
Для этого сначала строим исходную систему координат Оху,затем в этой системе находим точку и строим промежуточную систему координат , которая получается из Оху переносом начала в точку . Затем поворачиваем координатные оси на выбранный нами ранее угол и получаем окончательную систему координат . Именно на осях этой системы координат мы и откладываем полуоси эллипса.