|
1.2. Variatsion masalalar bilan chegaraviy masalalarning o`zaro aloqasi
Variatsion hisobning dastlabki masalalari XVII asrda yuzaga kelgan bo`lib, o`sha vaqtdan boshlab variatsion hisob matematikaning muhim tarmog`i sifatida rivojlanib kelmoqda. Variatsion hisob funksionallarning ekstremumini topish bilan shug`ullanadi. Variatsion masalalarga braxistoxrona (Ya.Bernulli), nurning bir jinsli bo`lmagan muhitda tarqalish yo`lini topish (P.Ferma) va o`q bo`ylab aylanma harakat qilib siljiyotgan jism eng oz qarshilikka uchrashi uchun uning shakli qanday bo`lishi kerakligi (I.Nyuton) haqidagi masalalar kiradi. Variatsion hisob masalalarini yechishga L.Eyler katta xissa qo`shgan. Variatsion hisob metodlari mexanika, boshqaruv nazariyasi, matematik-fizika va shu kabi sohalarda keng qo`llaniladi. Bu sohalarda masalalarni yechish uchun uni yo differensial tenglama yoki biror funksionalning minimumini topishga keltiriladi. Bu bobda qaraladigan metodlar ham kollokatsiya metodi kabi taqribiy yechimni analitik shaklda ifodalaydi.
Masalaning mohiyatini tushunish uchun eng sodda
(1.7)
funksionalni qaraymiz, bunda berilgan funksiya bo`lib, uch o`lchovli Evklid sohasining biror sohasida o`zgarmaslarga nisbatan ikkinchi tartibli hosilalargacha uzluksizdir.
Faraz qilaylik, funksiya oraliqda uzluksiz bo`lib, da uzluksiz hosilaga ega va ning chekka nuqtalarida
(1.8)
shartlarni qanoatlantirsin.
funksiyaning -atrofida deb funksiyalarning shunday oilasiga aytiladiki, ular ning barcha nuqtalarida
tengsizlikni qanoatlantirsin, da uzluksiz hosilaga ega va (1.8) chegaraviy shartlarni qanoatlantirsin. Bunday oilaga kiradigan funksiyalar taqqoslashga joiz yoki sodda qilib joiz funksiyalar deyiladi. Variatsion hisoblashning asosiy masalasiga ko`ra joiz funksiyalar orasida shunday funksiyani topish kerakki, u (1.1) funksionalga absolyut minimum bo`lsin:
endi oilada funksionalga minimumni ta’minlaydigan uchun zaruriy shartni topamiz. Shu maqsadda
(1.9)
shartlarni qanoatlantiradigan uzluksiz hosilaga ega bo`lgan funksiyani olamiz. Keyin ushbu funksiyani qaraymiz. Bunda - kichik parametr, shuning uchun ham oilada yotadi, deb faraz qilishimiz mumkin. Bu funksiyani funksionalga qo`yamiz, u holda
(1.10)
ifoda kelib chiqadi. Bu ifodani ning funksiyasi deb qaraymiz: . Bu funksiya hosilasininng nuqtadagi qiymatini funksionalning birinchi variatsiyasi deyiladi va kabi belgilanadi:
xuddi shunga o`xshash
qiymat funksionalning ikkinchi variatsiyasi deyiladi. (1.10) ifodadan va variatsiyalar uchun quyidagi ifodalarni topamiz:
(1.11)
(1.12)
Endi (1.6) chegaraviy shartlarni hisobga olib, (1.5) ni bo`laklab integrallaymiz:
(1.13)
Ma’lumki, ning nuqtada ekstrimumga ega bo`lishining sharti ya’ni uchun ham (1.13) tenglikda funksiyaning ixtiyoriyligidan (1.8) chegaraviy shartlarni qanoatlantiradigan va (1.7) integralni minimumini ta`minlaydigan funksiya
(1.14)
differensial tenglamani qanoatlantirishi kerak. Bu tenglama Eyler tenglamasi deyiladi. Shuni ham ta’kidlash kerakki, funksionalga minimumni ta’minlasa, u holda bo`lishi kerak.
Misol sifatida,
(1.15)
funksionalni olamiz. Bu yerda da uzluksiz hosilaga ega bo`lib, shartni qanoatlantiradi, va funksiyalar esa uzluksiz bo`lib, deb faraz qilamiz.
Ravshanki,
shuning uchun ham Eyler tenglamasi
ga yoki
(1.16)
chegaraviy masalaga keladi; bu yerda chegaraviy shartlarning bajarilishi funksiyaning D oilaga kirishidan kelib chiqadi.
1.3. Proyeksion usullar bilan chegaraviy masalalarning o`zaro bog`liqligi
Biz oldingi boblarda chegaraviy masalalarni chekli ayirmali metodlar va variatsion metodlar bilan taqribiy yechish masalasini ko`rib chiqgan edik. Bu metodlarning har birining ustunliklari va kamchiliklari bor. Agar differensial operator musbat aniqlangan va simmetrik bo`lsa, variatsion metodni qo`llash natijasida hosil bo`lgan chiziqli algebraik tenglamalar sistemasining matritsasi ham musbat aniqlangan va simmetrik bo`ladi. Ammo bu matritsa to`la, ya`ni noldan farqli elementlari juda ko`p bo`ladi. Shuning uchun ham matritsaning tartibi katta bo`lsa, bunday masalani yechish uchun juda katta mehnat talab qilinadi. Ikkinchi tomondan, chekli-ayirmali metodda matritsa uch diagonalli bo`lib, chiziqli algebraik tenglamalar sistemasining matritsasi siyrak bo`ladi. Ammo differensial operator musbat aniqlangan holda sistemaning matritsasi musbat aniqlanmagan bo`lishi mumkin.
Keyingi yillarda shunday metodlar yaratila boshladiki, ular variatsion va ayirmali metodlarning ijobiy tomonlarini o`zida mujassamlashtirgan. Bu metodlar variatsion ayirmali metodlar deyiladi. Bunday metodlarni ko`rish uchun variatsion metodlarda bazis funksiyalar sifatida chekli bardoshli funksiyalardir. Bunday funksiyalar yechim mavjud bo`lgan sohaning faqat kichik qismidagina noldan farqlidir.
Biz bilamizki, agar
(1.17)
funksional aniqlangan sohada yechimi bo`ladi. Aksincha, agar yechim (1.17) funksionalning aniqlanish sohasida uning uchun minimumini ta`minlaydi.
Variatsion-ayirmali metodning mohiyati tushunchasi uchun
to`rda
(1.18)
finit funksiyalarni olib, ularni bazis funksiyalar sifatida qabul qilamiz. Finit funksiyaning orqali belgilanadi, bu holda . Taqribiy yechimini
ko`rinishida qidiramiz, bu yerda koeffitsiyentlarni variatsion algoritm bo`yicha aniqlaymiz. Bu holda (1.1) funksional uchun minimum ta`minlash shartida
(1.19)
tenglamalar sistemasini kelib chiqadi. (1.6), (1.7) formulaga ko`ra
(1.20)
Uncha nurakkab bo`lmagan hisoblashlardan , lar uchun quyidagilarni hosil qilamiz:
(1.21)
Shunday qilib, variatsion algoritm (1.5) finit funksiyaga qo`llash natijasi bilan (1.19) tenglamalar sistemasiga keltiriladi. Bu qandaydir ayirmali tenglama bo`lib, ayrimlari metodlarda hosil bo`ladigan tenglamalarga o`xshashdir. Bu sistemaning matritsasi uch diagonalli bo`ladi.
II.BOB VARIANTSION VA PROYEKSION USULLAR
Do'stlaringiz bilan baham: |
