Afin koordinatalar sistemasi

10-mavzu.Afin koordinatalar sistemasi.
Reja.
1.Tekislikda umumiy dekart koordinatalar sistemasi.
2. Fazoda qutb koordinatalar sistemalari.
3.Sferik koordinatalar sistemasi.
4.Koordinata sistemalari orasida bog`lanish.

Tekislikdagi umumiy dekart(yoki afin) koordinatalar sistemasi deb har bittasi uchun koordinatalar boshi deb ataluvchi O nuqtada kesishuvchi tartiblangan ikkita o`qqa aytiladi.

Masshtab bu o`qlarda har xil bo`lishi mumkin. Birinchi o`q Ox o`qi yoki absissa o`qi, ikkinchi o`q esa Oy o`qi ya`ni ordinate o`qi deyiladi.
M tekislikning ixtiyoriy nuqtasi bo`lsin. P nuqta M nuqtaning Oy o`qqa parallel bo`lgan proeksiyasi, x esa P nuqtaning Ox o`qdagi koordinatasi; Q nuqta M nuqtaning Ox o`qqa parallel bo`lgan Oy o`qdagi proeksiyasi bo`lsin, y esa Q nuqtaning Oy o`qdagi koordinatasi .
x,y sonlar M nuqtaning umumiy dekart (yoki afin) koordinatalari deyiladi.
Fazoda qutb koordinatalar sistemalari.Qutb va sferik koordinatalar.
Fazoda П yo`nalgan tekislikni qaraymiz. Oz –o`q bu П tekislikka perpendikulyar va O nuqtada kesib o`tsin Ox- esa П tekislikda yotuvchi va O nuqtadan chiqubchi nur bo`lsin. Masshtab birligini tanlaymiz.
Yo`nalgan П tekislik ekvatorial, Oz – senit o`qi, Ox nur esa qutb o`qi, O nuqta esa qutb nuqta deyiladi.
Bu elementlar to`plami fazodagi qutb koordinatalar sistemasi deyiladi.
Zenit o`qida yotmaydigam M nuqtaning silindirik kootdinatalari deb ,, z tartiblangan uchlikka aytiladi. Bunda , M nuqtaning ekvatorial tekislikdagi P ortogonal proeksiyasini qutb koordinatalari. z esa M nuqtani Oz zenit o`qidagi proeksiyasi Q ning koordinatasi. Zenit o`qining nuqtalari uchun  = 0 va  - ixtiyoriy son.
Zenit o`qida yotmaydigan M nuqtaning sferik koordinatasi deb tatiblangan, r,  ,  uchta songa aytiladi. Bunda r OM kesmaning uzunligi.  - Ox o`qidan OP nurgacha bo`lgan burchak( P – M nuqtaning ekvatorial tekislikdagi proeksiyasi). - esa OP va OM nurlar orasidagi burchak bo`lib, oraliqda o`zgaradi. Ekvatorial tekislikda yotadigan M nuqtalar uchun  = 0 deb olinadi, agar  > 0 bo`lsa OM nur zenit o`qi bilan o`tkir burchak hosil qiladi, agar  < 0 bo`lsa OM nur zenit o`qi bilan o`tmas burchar hosil qiladi.
Agar M nuqta zenith o`qida yotib O nuqta bilan ustma-ust tushmasa, u holda  - ixtiyoriy son , OM nurni zenith o`qi bilan bir xil yoki qarama-qarshi yo`nalganligiga qarab yoki deb olinadi.Qutb nuqta uchun r = 0 ,  va  - ixtiyoriy sonlar . Sferik koordinatalar bilan fazoni barcha nuqtalari va tartiblangan haqiqiy sonlarni uchliklari to`plami orasida o`zaro bir qiymatli moslik o`rnatilmaydi.
Fazoda qutb koordinatalar sistemasi kiritilgan bo`lsin.Bu fazoda yana to`g`ri burchakli dekart koordinatalar sistemasini shunday kiritamizki: qutb o`qini Ox o`qning musbat yo`nalishi sifatida,Oy o`q sifatida Ox o`qni ekvatorial tekislikda qutb nuqtasi atrofida + 90 burchakka burish natijasida hosil bo`lgan o`qni va Oz sifatida zenith o`qni olamiz. P nuqta M nuqtaning ekvatorial tekislikdagi proeksiyasi bo`lsin.OP kesmaning uzunligini  orqali belgilaymiz, u holda
x =  cos , y =  sin .
Ikkinchi tomondan,  = cos , demak,
x = r coscos, y = r cos sin. (1)
bundan tashqari, ravshanki
z = r sin.
(1) formula M nuqta zenith o`qida yotgan vaqtda va qutb nuqtasi bilan ustma-usht tushganda ham o`rinli.
(1) formula yordamida M nuqtaning sferik koordinatalari ma`lum bo`lsa, uning to`g`ri burchakli dekart koordinatalari hisoblanadi.
(1) formuladan

kelib chiqadi, bundan
,
demak,
, , , . (2)
Bu formulalar bo`yicha zenith o`qida yotmaydigan to`g`ri burchakli dekart sistemasida koordinatalari x,y,z bo`lgan M nuqtasining sferik r,, koordinatalari hisoblanadi.
Tayanch iboralar.Afin koordinatalar sistemasi,qutb koordinatalar sistemasi,sferik koordinatalar sistemasi,zenit o`q.
Savollar.
1.Tekislikda umumiy dekart koordinatalar sistemasini kiriting.
2. Fazoda qutb koordinatalar sistemasini kiriting.
3.Sferik koordinatalar sistemasi kiriting.
4.Koordinata sistemalari orasida bog`lanishni aniqlang.
11-mavzu. Vektorlar algebrasi.
Reja.
1.Vektorlar.
2. Vektorning tekislikdagi va fazodagi koordinatalari.
3.Vektorlar yig`indisi.
4. Vektorni songa ko`paytmasi.

Vektorlar.

Bu mavzuda vektorlarga uch o`lchovli evklid fazosida ta`rif beriladi (tekislikda va tog`ri chiziqda vektor tushunchasi bu ta`rifning xususiy holidir).Bir qator qo`shimcha ta`riflar beramiz.
Ikkita maxsus bo`lmagan yo`naltirilgan va kesmalar kollinear deyiladi, agarda AB va CD to`g`ri chiziqlar parallel yoki ustma-ust tushsa.
Paralel to`g`ri chiziqlarda yotuvchi ikkita maxsus bo`lmagan yo`naltirilgan va kesmalar bir xil yo`nalishga ega deyiladi agarda B va D nuqtalar AC to`g`ri chiziqdan bir tomonga yotsa. Agar B va D nuqtalar AC to`g`ri chiziqdan har xil tomonda yotsa , u holda yo`naltirilgan va kesmalar qarama-qarshi yo`nalishga ega deymiz. Agar yo`naltirilgan va kesmalar collinear bo`lsa, u holda uni deb yozamiz. Ikkita yo`naltirilgan va kesmalar teng = deyiladi,agarda quyidagi shartlar bajarilsa:

1. 
   AB va CD kesmalar teng;
   
2. 
   Yo`naltirilgan va kesmalar kollinear;
   
3. 
   Yo`naltirilgan va kesmalar bir xil yo`nalishga ega;
   

Ozod (erkin) a vector deb barcha bir biriga teng bo`lgan yo`nalterilgan kesmalar sinfiga aytiladi.Nol vector debbarcha maxsus yo`naltirilgan kesmalar sinfiga aytiladi.
Ozod a vector ko`p hollarda ushbu vektorni ifodalovchi sinfdagi ixtiyoriy yo`naltirilgan kesma orqali ifodalanadi va belgilanadi.
Bundan keyin vector deganda “ozoq vector”ni tushunamiz.
Yo`naltirilgan kesma , a vektorni ifodalovchi yo`naltirilgan kesmalar sinfidagi kesma bo`lsin, u holda bu vektorning uzunligi yoki moduli deb AB kesmaga aytiladi va AB yoki adeb belgilanadi.
Vektor tusgunchasi fizika va mexanikada tezlik,tezlanish tushinchalarni qarash natijasida yozaga keldi.
Vektorning tekislikdagi va fazodagi koordinatalari.
vektorning proeksiyasi deb vektorgaaytiladi, bunda A` va B` - A va B nuqtalarning proeksiyalari.
vektorning tekislikda berilgan umumiy dekart koordinatalar sistemasidagi koordinatasi deb x,y sonlarga aytiladi.Bunda x – Ox o`qdagi vektorning koordinatasi, y esa Oy o`qdagi vektorning koordinatasi.
vektorning fazoda berilgan umumiy dekart koordinatalar sistemasidagi koordinatalari ham shunga o`xshash aniqlanadi.
Agar a vectorning (tekislikdagi) koordinatalari x,y yoki (fazodagi) koordinatalari x,y,z bo`lsa, u holda mos ravishda a = {x,y}yoki
a = {x,y,z} deb yoziladi.
1-tasdiq. Agar vector o`zining boshlang`ich nuqtasi (uchi) A(x₁,y₁,z₁) va oxiri B(x₂,y₂,z₂) nuqtada joylashgan bo`lsa, uning fazodago koordinatalari
x = x<sub>2</sub>-x<sub>1</sub>, y = y<sub>2</sub>-y<sub>1</sub>, z = z<sub>2</sub>-z<sub>1</sub> .
formulalar bilan hisoblanadi.
2-tasdiq. vektorning l o`qdagi orthogonal proeksiyasining koordinatasi , bu vektorning AB uzunligini vector bilan l o`q orasidagi  burchak kosinusi kopaytmasiga teng.
Pr.<sub>l</sub> = AB cos.
Vektorlarning yig`indisi.