1
6-laboratoriya ishi
14.Korrelyasion va regression tahlil (korrelyasion bog‘lanishning
asosiy masalalari, korrelyasiya koeffitsienti).
15.
Chiziqli regressiya tenglamasi( eng kichik kvadratlar usuli).
14.7. Chiziqli ryegryessiya. Eng kichik kvadratlar usuli. To’g’ri chiziqli
ryegryessiya tanlanma tyenglamasi paramyetrlarini topish. To’g’ri chiziqli
ryegryessiya tanlanma tyenglamasi.
Ma’lumki, korryelyatsiion bog’langan va
byelgilarning ryegryessiya tanlanma tyenglamasi
, yoki
ko’rinishda yozilib, agar
va
ryegryessiya funksiyalarining ikkalasi ham
chiziqli bo’lsa, u holda
va
byelgilar orasidagi korryelyatsion bog’lanish
chiziqli dyeb atalar edi. Biz mana shu chiziqli korryelyatsion bog’lanishni
atroflicha o’rganib chiqamiz.
Buning uchun
juftlikning sonli byelgilari sistyemasini o’rganamiz.
Bunda ikki: 1) ma’lumotlar gruppalanmagan; 2) ma’lumotlar
gruppalangan hollarni
alohida-alohida qarashimiz kyerak bo’ladi.
1) Tanlanma ustida o’tkazilgan
ta erkli tajriba natijasida olingan
ma’lumotlardan
sonlar juftligi kyetma-kyetligini hosil
qilingan bo’lib, bu ma’lumotlarni gruppalash shart bo’lmasin, ya’ni
byelgining
turli
x
qiymatlari va ularga mos byelgining qiymatlari bir martadan kuzatilgan
bo’lsin. Bunday holatda shartli o’rtacha tushunchasidan foydalanish shart emas.
Shuning uchun izlanayotgan
(1)
tanlanma ryegryessiya to’g’ri chizig’i tyenglamasini quyidagicha yozishimiz mumkin
. (2)
Bu tyenglamadagi burchak koeffitsiyentni
bilan byelgilab, uni
ning
ga
ryegryessiya
tanlanma koeffitsiyenti
dyeb ataymiz. Shunday qilib,
ning
ga
to’g’ri chiziqli ryegryessiya tanlanma tyenglamasini
(3)
ko’rinishda izlaymiz.
Bu tyenglamadagi noma’lum
va koeffitsiyentlarni shunday tanlashimiz
kyeraki, natijada kuzatish ma’lumotlari bo’yicha topilgan
nuqtalarni
tyekislikka joylashtirganimizda bu
nuqtalar mumkin qadar (3)
X
Y
( )
x
y
f x
( )
y
x
y
( )
f x
( )
y
X
Y
,
X Y
n
1
1
2
2
( ,
), ( ,
),..., ( ,
)
n
n
x y
x y
x y
X
Y
y
x
y
kx b
y
kx b
yx
Y
X
Y
X
yx
Y
x b
yx
b
1
1
2
2
( ,
), ( ,
),..., ( ,
)
n
n
x y
x y
x y
xOy
2
to’g’ri chiziq yaqin atrofida yotsin. Bunday
talabni bajarishdan oldin
ifoda bilan aniqlanadigan chyetlanish tushunchasini kiritib
olamiz, bu yerda
-(3) tyenglamadan kuzatilgan
qiymatga
mos kyeluvchi
ordinata; esa ga mos kuzatilgan ordinata. Noma’lum
va koeffitsiyentlarni
shunday tanlaymizki, chyetlanishlar kvadratlarining yig’indisi eng kichik, ya’ni
, bo’lsin (noma’lum
va koeffitsiyentlarni topishning bu usuli
eng
kichik
kvadratlar
usuli dyeb ataladi).
Har
bir
chyetlanish
noma’lum
va
koeffitsiyentlarga
bog’liq
bo’lgani
uchun
chyetlanishlari
kvadratlari
yig’indisining
funksiyasi
ham bu koeffitsiyentlarga bog’liq bo’ladi:
.
Bu funksiyaning minimumini topish uchun noma’lum paramyetrlar bo’yicha ning
xususiy hosilalarni hisoblab nolga tyenglashtiramiz (hozircha
o’rniga
yozib
turamiz):
Elyemyentar almashtirishlar bajarib
va
ga nisbatan quyidagi tyenglamalar
sistyemasini olamiz:
(4)
Bu sistyemani yyechib izlanayotgan paramyetrlarni topamiz (ixchamlik uchun
indyekslarni tushirib qoldiramiz):
,
(5)
Xuddi shu usulda
ning ga ryegryessiya to’g’ri
chiziqli tanlanma
tyenglamasini topish mumkin.
.
(6)
2) Faraz qilamiz, kuzatish natijasida olingan ma’lumotlar ko’p sonli (kamida
50 ta kuzatish o’tkazilishi kyerak), ya’ni gruppalanadigan, bo’lib
byelgining
x
qiymatiga va mos byelgining qiymati bir nyecha martadan kuzatilgan bo’lsin,
ya’ni ma’lumotlar ichida takrorlanadiganlari ham bor, u holda ular korryelyatsion
jadval ko’rinishida byeriladi.
Quyidagi (soddalik uchun indyekslarni tushirib qoldiramiz):
(
1, 2,..., )
i
i
Y
y
i
n
i
Y
i
x
i
y
i
x
yx
b
2
1
min
n
i
i
i
Y
y
yx
b
yx
b
F
n
i
i
i
yx
n
i
i
i
yx
y
b
x
y
Y
b
F
1
2
1
)
(
)
(
)
,
(
2
F
xy
1
2
(
)
0,
n
i
i
i
F
b
y x
1
2
(
)
0.
n
i
i
F
b
y
b
b
2
1
1
1
1
n
n
n
i
i
i
i
i
i
i
n
n
i
i
i
i
x
b
x
x y
x
nb
y
i
2
2
yx
n
xy
x
y
n
x
x
2
2
2
n
x
y
x
xy
b
n
x
x
X
Y
y
xy
x
y c
X
Y
y
i
3
,
,
,
(
juftlik
marta kuzatilishi hisobga olingan)
ayniyatlardan foydalanib, (4) tyenglamalar sistyemasini quyidagicha yozib olamiz:
(7)
Bu sistyemani
va
ga
nisbatan yyechib, izlanayotgan ryegryessiya
tanlama tyenglamasini topamiz:
.
(8)
Ammo (7) sistyemaning yyechimini topishdagi ba’zi bir hisoblashlarni
yyengillashtirish maqsadida (8) tyenglamani uchun ham yozib:
,
(9)
chunki
nuqta ham (8) tyenglamaning yyechimi bo’ladi, (8) va (9)
tyenglamalardan tyenglamalar sistyemasi hosil qilamiz va yangi sistyemadan
(10)
ryegryessiya tanlama tyenglamasini hosil qilamiz.
(7) sistyemadan ryegryessiya koeffitsiyentini topamiz:
(ma’lumotlar gruppalanmasa
).
(11)
