Vodorod atomining kvant mehanika nazariyasi

1.3. Vodorod atomi uchun Shredenger tenglamasi
Kvant mexanikasida mikrozarraning holati to‘lqin funksiyasi bilan ifodalanadi. To‘lqin funksiyasi  harfi bilan belgilanadi va “psi-funksiya” deb o‘qiladi. Kvant mexanikasida mikrozarraning holatini klassik mexanikadagi kabi oldindan aniq aytib bo‘lmaydi. Kvant mexanikasida mikrozarraning u yoki bu holatining ehtimolligi aniqlanishi mumkin. Shuning uchun to‘lqin funksiya deyilganda, koordinata va vaqtga bog‘liq bo‘lgan shunday matematik ifoda (x,y,z,t) tushunilishi kerakki, uning yordamida berilgan vaqtda mikrozarralarning fazodagi taqsimotini (joyini) aniqlash mumkin bo‘lsin.
To‘lqin funksiyasi – elektr va magnit maydonlari tushunchalari kabi fizik tushunchadir. Maks Born to‘lqin funksiyasiga quyidagicha ta’rif beradi: to‘lqin funksiyasi ehtimoliyat interpretatsiyasiga ega va uning modulining kvadrati ² fazoning berilgan nuqtasida va berilgan vaqtda zarraning topilish ehtimoliyatiga proporsional bo‘ladi. Zarraning topilish ehtimoliyati maydon intensivligi kuchli bo‘lgan sohada katta bo‘ladi. Zarraning dx uzunlik elementida topilishining ehtimoliyati quyidagicha ifodalanadi:

Bu ifodaga normalash qoidasini qo‘llab quyidagi formulani hosil qilish mumkin:
 (1.38)
yoki umumiy holda zarraning dV=dxdydz hajm elementida topilish ehtimoliyatini quyidagicha yozish mumkin:
(1.39)
(1.38) va (1.39) formulalar to‘lqin funksiyasini normalash sharti deyiladi va zarraning mavjudligini, fazoning qaysidir biror nuqtasida bo‘lishini ko‘rsatadi. Bunday normalash xususiy qiymatlarning spektri diskret bo‘lganda to‘g‘ri bo‘ladi. Xususiy qiymatlarning spektri uzluksiz bo‘lganda, ² dan olingan integral cheksizlikka aylanadi, shuning uchun xususiy qiymatlar uzluksiz bo‘lganda boshqa normalash shartidan foydalaniladi. Noaniqlik munosabatlaridan ko‘rinadiki, klassik fizikada ishlati­ladigan deterministik prinsiplar kvant mexanikasida to‘g‘ri bo‘lmay­di, chunki zarraning turgan joyi va tezligini bir vaqtda absolyut aniqlikda o‘lchab bo‘lmaydi. Demak, kvant mexanikasida zarraning trayektoriyasi to‘g‘risida gapirib bo‘lmaydi. Kvant mexanikasida faqat fazoning berilgan nuqtasida berilgan vaqtda zarraning topilish ehtimoliyatining zichligi ^* ni aniqlash mumkin bo‘ladi. Ehtimoliyatning o‘zi esa ^*dV ko‘rinishda ifodalanadi. Umuman,  funksiya fizikaviy jarayonlarni ifodalashda foyda­laniladigan qulay instrument hisoblanadi.
Yuqorida mikrozarralar ham zarra ham to‘lqin xususiyatiga ega ekanligi qarab chiqildi. Mikrozarralarning zarra xususiyati ularning o‘zaro ta’sirida (fotoeffekt, Kompton effekti hodisalarida), to‘lqin xususiyati esa ularning tarqalishida, interferensiya, difraksiya hodisa­larini hosil qilishida namoyon bo‘ladi. P impulsga va E energiyaga ega bo‘lgan mikrozarraning to‘lqin xususiyati quyidagi ko‘rinishdagi de-Broyl yassi to‘lqin funksiyasi orqali ifodalanadi:
(1.40)
(1.40) formulada A – doimiy son, (r,t) – de-Broyl yassi to‘lqin funksiyasi, t – vaqt, r – radius vektor.
Yuqorida E – energiya va P – impulsga ega bo‘lgan mikrozarra to‘lqin xususiyatiga ega ekanligi qarab chiqildi. Aniq biror yo‘nalish­da erkin harakatlanayotgan zarraning holati de-Broyl yassi to‘lqin funksiyasi bilan ifodalanadi:
(1.41)
(1.41) formulada  – psi funksiya, k – to‘lqin soni , r – radius vektor,  – doiraviy chastota, t – vaqt,  – kompleks son. Lekin zarra turli kuch maydonlarida ham harakatlanishi mumkin. Bunda uning harakati murakkabroq to‘lqin funksiyasi bilan ifodalanadi.
Mikrozarralarning harakatini uning to‘lqin xususiyatini hisobga olgan holda ifodalaydigan to‘lqin tenglama 1926-yilda Ervin Shredinger tomonidan taklif etildi. Shredinger tenglamasi faraz sifatida qabul qilingan, uning to‘g‘riligi bu tenglamadan kelib chiqa­digan xulosalarning tajriba natijalariga mos kelishi bilan tasdiqlanadi. Shredinger tenglamasi kvant mexanikasining asosiy tenglamasi bo‘lib, norelyativistik kvant mexanikasi uchun, ya’ni yorug‘likning vakuumdagi tezligidan kichik (<<c) bo‘lgan tezliklar uchun to‘g‘ri­dir. Shredinger o‘z tenglamasini yaratgandan so‘ng, uni vodorod atomiga tatbiq qilib, energiyaning xususiy qiymatlarining spektrini hosil qildi. Bu spektr vodorod atomining Bor nazariyasi orqali hosil qilingan spektr bilan mos keladi.
Shredinger tenglamasi faqat xususiy yechimlar uchun to‘g‘ri bo‘lmasdan, balki barcha yechimlar uchun to‘g‘ri bo‘ladigan umumiy tenglama bo‘lishi kerak. Shuning uchun bu tenglamaga fundamental doimiylar, masalan, Plank doimiysi, zarraning massasi, impulsi, zarra harakatlanadigan maydon kuchlari kirishi kerak. Shredinger tengla­masini izlashda, uning yechimlaridan biri erkin fazoda de-Broyl yassi to‘lqini funksiyasi ekanligini ko‘rish mumkin.
Shredinger o‘z tenglamasini yaratishda de-Broyl va Plank muno­sabatlarini asos qilib oldi, ya’ni:
va
U holda zarraning to‘liq energiyasi quyidagi ko‘rinishda aniqlanadi:
(1.40a)
bunda P²/2m – zarraning klassik fizikadagi kinetik energiyasi, P – zarraning impulsi. Zarra erkin bo‘lgani uchun E va P kattaliklar doimiy va U – potensial energiya nolga teng deb qaraladi.
 funksiya o‘z ma’nosiga ko‘ra, quyidagi shartlarni qanoatlantirishi zarur:

1. 
    funksiya chekli bo‘lishi kerak, chunki zarraning fazoda topilish ehtimoliyati birdan katta bo‘la olmaydi.
   
2. 
    funksiya bir qiymatli bo‘lishi kerak, chunki zarrani fazoning biror nuqtasida qayd qilish ehtimoliyatining qiymati bir nechta bo‘lishi mumkin emas.
   
3. 
    funksiya uzluksiz bo‘lishi kerak, chunki zarraning topilish ehtimoliyati saqrash yo‘li bilan o‘zgara olmaydi.
   

Yechimi yuqorida keltirilgan shartlarni qanoatlantiradigan  funksiya uchun differensial tenglamani yechishda P – impulsni doimiy hisoblab, (1.40) formulani x koordinata bo‘yicha differensial­laymiz:

(1.40) formulani y va z koordinata o‘qlari bo‘yicha differensial­lashdan ham shunday munosabatlar hosil bo‘ladi. x,y,z koordinatalar bo‘yicha ikkinchi tartibli hosilalarni qo‘shish­dan quyidagi ifoda hosil bo‘ladi:
(1.41)
bu yerda

² – Laplas operatori deyiladi.
(1.41) ifoda differensial tenglama bo‘lib, zarraning aniq doimiy impuls bilan qilayotgan harakatini ifodalaydi. Endi (1.40) formulada  ni doimiy deb hisoblab, (1.40) tenglamani vaqt bo‘yicha differensial­laymiz:
(1.42)