Vodorod atomining kvant mehanika nazariyasi

1. Azimutal tenglama. (1.13) ifodada keltirilgan azimutal to‘lqin tenglamasi z o‘qi atrofida aylanayotgan de-Broyl to‘lqin funksiyasini ifodalaydi. Bu tenglama garmonik ossillyator tenglamasi bilan o‘x­shash bo‘lib, ikkita haqiqiy yechimga va bitta kompleks davriy funksiyaga ega bo‘ladi, ya’ni:
(1.14)
Agar atom z o‘qi atrofida to‘liq bir marta aylansa,  funksiya dastlabki holatini oladi va azimut burchagi yana  ga teng bo‘ladi. m_ℓ kattalik 2 ga karrali bo‘lganda har safar (1.14) funksiyaning bunday sharti qondiriladi.  radianlarda o‘lchanadi, u holda m_ℓ butun son qiymatlariga ega bo‘lishi kerak. Lekin, m_ℓ ning nolga teng qiymatini va qarama-qarshi tomonga aylanishini hisobga olish zarur.

U vaqtda m_ℓ ning mumkin bo‘lgan qiymatlari quyidagicha bo‘ladi:

m_ℓ = 0, 1, 2, 3,… (1.14a)
“–” ishora qarama-qarshi tomonga aylanishini bildiradi, m_ℓ ning bu qiymatlarining kvadrati (1.14) dagi turli xususiy funksiyalarga tegishli bo‘lgan xususiy qiymatlardir. O‘z navbatida bu qiymatlar azimutal tenglamaning mumkin bo‘lgan yechimlaridir. Doimiy kattalik m_ℓ vodorod atomini xarakterlaydigan kvant sonidir. m_ℓ – orbital magnit kvant soni deyiladi.
2. Qutb koordinatalaridagi tenglama. (1.12) tenglama qutb teng­lamasi bo‘lib, qutb burchagining dastlabki holatiga nisbatan o‘zgar­ganidagi de-Broyl to‘lqin funksiyasini ifodalaydi. Bu tenglamaning yechimi Lejandrning bog‘langan polinomlari kabi bo‘ladi va quyidagicha ifodalanadi:
(1.15)
Bu polinomlar cos va m_ℓ, ℓ doimiyliklarga bog‘liq bo‘ladi. m_ℓ musbat va manfiy butun sonlarni hamda nol qiymatlarni qabul qilgani uchun qutb burchagi 0 dan  gacha o‘zgaradi. Lejandr polinomlari xossasiga asosan (1.15) ifodadagi yechim ℓ butun sonlar­ga teng va m_ℓ ning absolyut qiymatidan katta yoki teng bo‘lgan qiy­matlaridagina to‘g‘ri bo‘ladi. Bunday shartdan ikkinchi kvant son – orbital kvant sonining qabul qilishi mumkin bo‘lgan son qiymatlari kelib chiqadi, ya’ni:
ℓ=0, 1, 2, 3,…
ℓ m_ℓ ning absolyut qiymatidan katta yoki teng bo‘lganligidan ℓ=0 bo‘lsa, m_ℓ=0 yoki ℓ=1 bo‘lsa, m_ℓ 0 yoki 1 qiymatlariga teng bo‘lishi mumkin, ya’ni:
m_ℓ=0, 1, 2, 3, …,ℓ.
Umumiy holda ℓ ning har bir berilgan qiymatiga (2ℓ+1) yechim to‘g‘ri keladi. Yoki buni quyidagicha ta’riflash mumkin: ℓ ning har bir berilgan qiymatiga to‘g‘ri keladigan holat m_ℓ ga nisbatan (2ℓ+1) ga karrali turlangan (“aynigan”) bo‘ladi. Agar ℓ ning har bir qiymatiga to‘g‘ri keladigan (2ℓ+1) sondagi energiyalarning xususiy qiymatlari o‘zaro teng bo‘lsa, bunday holatlar “aynigan” deyiladi. Ikkinchi tomondan, qandaydir biror fizik hodisalar ta’sirida xususiy qiymatlar­ga ajralsa, u holda turlanish (“aynish”) yo‘qoladi, hosil bo‘lgan holatlar turlanmagan (“aynimagan”) deyiladi.