Векторное произведение векторов

Координаты векторного произведения
Рассмотрим векторное произведение векторов в координатах.
Сформулируем второе определение векторного произведения, которое позволяет находить его координаты по координатам заданных векторов.
В прямоугольной системе координат трехмерного пространства векторное произведение двух векторов = ( ) и = ( ) есть вектор

где
— координатные векторы.
Это определение показывает нам векторное произведение в координатной форме.
Векторное произведение удобно представлять в виде определителя квадратной матрицы третьего порядка, первая строка которой есть орты , во второй строке находятся координаты вектора , а в третьей — координаты вектора в заданной прямоугольной системе координат:

Если разложим этот определитель по элементам первой строки, то получим равенство из определения векторного произведения в координатах:

Важно отметить, что координатная форма векторного произведения согласуется с определением,которое мы дали в первом пункте этой статьи. Более того, эти два определения векторного произведения эквивалентны.

3.1. Геометрические свойства векторного произведения

Рисунок 1: Площадь параллелограмма равна векторному произведению.

Рисунок 2: Объём параллелепипеда при использовании векторного и скалярного произведения векторов; пунктирные линии показывают проекции вектора c на a × b и вектора a на b × c, первым шагом является нахождение скалярных произведений.

• 
  Необходимым и достаточным условием коллинеарности двух векторов является равенство нулю их векторного произведения.
  
• 
  Модуль векторного произведения равняется площади S параллелограмма, построенного на приведённых к общему началу векторах и (см. Рисунок 1)
  
• 
  Если — единичный вектор, ортогональный векторам и и выбранный так, что тройка - правая, а S — площадь параллелограмма, построенного на них (приведённых к общему началу), то для векторного произведения справедлива формула:
  

• 
  Если — какой-нибудь вектор, π — любая плоскость, содержащая этот вектор, — единичный вектор, лежащий в плоскости π и ортогональный к , — единичный вектор, ортогональный к плоскости π и направленный так, что тройка векторов является правой, то для любого лежащего в плоскости π вектора справедлива формула
  

• 
  При использовании векторного и скалярного произведений можно высчитать объём параллелепипеда, построенного на приведённых к общему началу векторах a, b и c (см. Рисунок 2). Такое произведение трех векторов называется смешанным.
  

На рисунке показано, что этот объём может быть найден двумя способами: геометрический результат сохраняется даже при замене «скалярного» и «векторного» произведений местами:

Величина векторного произведения зависит от синуса угла между изначальными векторами, поэтому векторное произведение может восприниматься как степень «перпендикулярности» векторов также, как и скалярное произведение может рассматриваться как степень «параллельности». Векторное произведение двух единичных векторов равно 1 (единичному вектору), если изначальные векторы перпендикулярны, и равно 0, если векторы параллельны.