Векторное произведение векторов

Векторным произведением вектора на вектор пространстве называется вектор , удовлетворяющий следующим требованиям:

• 
  длина вектора равна произведению длин векторов и на синус угла ; между ними
  

• 
  вектор ортогонален каждому из векторов и
  
• 
  вектор направлен так, что тройка векторов является правой.
  
• 
  в случае пространства требуется ассоциативность тройки векторов .
  

Обозначение:

В литературе определение векторного произведения может даваться по-разному. Например, в качестве определения даётся описанное далее выражение векторного произведения в координатах в правой и левой прямоугольной системе координат. А далее выводится данное выше определение, а также определение правой и левой тройки векторов.
Также для исходного определения может быть взят набор алгебраических свойств векторного произведения, а из них выводиться остальное. Проще говоря это «параллельные» векторы. Коллинеарные векторы могут быть одинаково направлены или противоположно направлены. Основное обозначение — || . Сонаправленные коллинеарные векторы обозначаются так . ↑↑ , противоположно направленные — ↑↓ . Прежде чем дать определение векторного произведения, разберемся с ориентацией упорядоченной тройки векторов , , в трехмерном пространстве.



Отложим векторы , , от одной точки. В зависимости от направления вектора тройка , , может быть правой или левой.
Посмотрим с конца вектора на то, как происходит кратчайший поворот от вектора к , Если кратчайший поворот происходит против часовой стрелки, то тройка векторов , , называется правой, по часовой стрелке — левой.

Теперь возьмем два неколлинеарных вектора →a и →b. Отложим от точки А векторы = и = . Построим некоторый вектор = , перпендикулярный одновременно и и .
Очевидно, что при построении вектора = мы можем поступить по-разному, если зададим ему либо одно направление, либо противоположное.



В зависимости от направления вектора = упорядоченная тройка векторов , , может быть правой или левой.