Vektorning absolyut qiymati (moduli) va yo‘nalishi

Vektorning koordinatalari.


A₁(x₁, y₁) nuqta - vektorning boshi, A₂(x₂, y₂) nuqta esa uning oxiri bo‘lsin. a₁=x₂-x₁, a₂=y₂-y₁ sonlarni -vektorning koordinatalari deb ataymiz. Vektorning koordinatalarini uning xarfiy belgisi yoniga qo‘yamiz. Qaralayotgan holda yoki to‘g‘ridan to‘g‘ri . Nol vektorning koordinatalari nolga teng.
Ikki nuqta orasidagi masofani shu nuqtalarning koordinatalari orqali ifodalovchi formuladan koordinatalari dan iborat vektorning moduli

ga teng degan natija kelib chiqadi.
Teorema. Teng vektorlar mos ravishda teng koordinatalarga ega. Aksincha, agar vektorlarning mos koordinatalari teng bo‘lsa, vektorlar teng bo‘ladi.
Masala. A(2;1), B(-1;2), C(0;3) nuqtalar berilgan. Shunday D(x;y) nuqtani topingki, va vektorlar teng bo‘lsin.
Yechish: vektor (-3;1) koordinatalarga ega. vektor (x-0;y-3) koordinatalarga ega. = bo‘lganligidan:
x-0=-3, y-3=1.
Bundan D nuqtaning koordinatalarini topamiz: x=-3; y=4.


TESTLAR.

1. vektor koordinatalar boshidan qo‘yilgan. Shu vektorning oxirining koordinatalari yig‘indisini toping.

A) -1 B) 1 C) 0 D) 2 E) 3

2. vektorning moduli 25 ga teng. n ni toping.

A) 7 B) 6 C) 5 D) 4 E) 3

3. va vektorlar modullari n qanday qiymatida teng bo‘ladi?

А) 20 В) 25 C) 32 D) 16 E) aniqlabbo’lmaydi

3.33. Vektorlarniqo‘shish.

Koordinatalari va bo‘lgan, va vektorlarningyig‘indisideb, koordinatalari bo‘lgan vektorgaaytiladi, ya’ni

.
Har qanday vektorlar uchun .
.
Teorema. A, B, C nuqtalar qanday bo‘lmasin. vektor tenglik o‘rinlidir. (137 - rasm).


137-rasm.
a) b)
138-rasm.
Ushbu teorema ixtiyoriy va vektorlar yig‘indisini yasashning ushbu usulini beradi. vektorning oxiridan vektorga teng vektorni qo‘yish kerak. U holda boshi vektorning boshi bilan ustma-ust tushadigan, oxiri esa vektorning oxiri bilan ustma-ust tushadigan vektor va vektorlarning yig‘indisini beradi (138.a)-rasm). Ikki vektor yig‘indisini xosil qilishning bunday usuli vektorlarni qo‘shishning uchburchak qoidasi deyiladi.
Umumiy uchga ega bo‘lgan vektorlar uchun ularning yig‘indisi shu vektorlarga yasalgan parallelogrammning diagonali bilan tasvirlaranadi. (parallelogramm qoidasi, 138.b)-rasm). Haqiqatan ham , demak, .
va vektorlarning ayirmasi deb, shunday vektorga aytiladiki, uning vektor bilan yig‘indisi vektorni beradi: . Bundan vektorning koordinatalarni topamiz: c₁=a₁-b₁; c₂=a₂-b₂.
1-masala: Og‘irligi R bo‘lgan yukni qiya tekislikda, u pastga sirpanib ketmasligi uchun qanday F kuch bilan tutib turish kerak (139-rasm).
Yechish: og‘irligi R bo‘lgan yukning ta’siri va vektorlar bilan tasvirlangan ikkita kuch ta’siriga teng kuchli. Ulardan biri qiya tekislikka perpendikulyar bo‘lib, yukning sirpanishiga yo‘l qo‘ymaydi, ikkinchisi esa kattaligi bo‘yicha tutib turuvchi F kuchga teng va unga qarama-qarshi yo‘nalgan. Agar qiya tekislik gorizontal tekislik bilan  burchak xosil qilsa, u xolda OB=OCsin. Demak, yukni qiya tekislikda tutib turuvchi F kuch bunday: F=Rsin.
2-masala: Boshi umumiy bo‘lgan va vektorlar berilgan (140-rasm). ekanini isbotlang.
Yechish: tenglikka egamiz. Bu esa ekanini bildiradi.

139-rasm. 140-rasm.
Agar vektorning moduli birga teng bo‘lsa, u birlik vektor deyiladi. birlik vektor bo‘lsa, u holda

va vektorlar o‘zaro  burchak ostida yo‘nalgan bo‘lsa, vektor moduli

vektor moduli

3-masala. va birlik vektorlar orasidagi burchak 30⁰. ni hisoblang.
Yechish. va birlik vektorlar bo‘lgani uchun , u holda

TESTLAR.

1. vektorlar 120⁰ burchak hosil qiladi. Agar | |=3 va | |=5 bo‘lsa, ning qiymati qanchaga teng bo‘ladi?

A) 2 B) 8 C) 7 D) 6 E) 10
2. va vektorlar berilgan. ni hisoblang.
A) 1 B) 3 C) 2 D) 4 E) 5
3. va vektorlar berilgan. ni hisoblang.
A) 12 B) 13 C) 8 D) 19 E) 5
4. A(2; 4), B(3; 6) va C(6; 14) nuqtalar berilgan. ni hisoblang.
A) 10 B) 13 C) 12 D) 14 E)
5. Agar bo‘lsa, ning qiymatini toping.
A) B) C) D) 4,5 E)
6. birlik vektorlar orasidagi burchak 60⁰. ni toping.
A) B) 2 C) D) 1 E) 3