Vektorlar va ularning chiziqli kombinatsiyalari

6-misol

Ikki va vektorlar orasidagi burchak ga teng va , ekanligi ma’lum bo‘lsa vektorning uzunligini hisoblang.

► vektorning uzunligini topish uchun vektorlarning skalyar ko‘paytmasidan foydalanamiz. deb belgilab va ni e’tiborga olib, berilgan vektorning har ikki tomonini kvadratga ko‘taramiz:

berilganlarga asosan:

Demak, yoki .◄

Odatda vektorning koordinata o‘qlari bilan tashkil qilgan burchaklarning kosinuslari uning yo‘naltiruvchi kosinuslari deyiladi(8-chizma).



8- chizma

vektorning yo‘naltiruvchi kosinuslari uning koordinatalari orqali quyidagicha aniqlanadi:

(*)

Ta’rif. Uzunligi birga teng bolgan vektorga birlik vector deyiladi.

Ta’rifdan bevosita ko’rinadiki, agar birlik vector bo’lsa, u holda boladi.

Agar 4 olchovli fazoda bo’lsa, u holda demak birlik vector boladi.

Izoh: Ixtiyoriy noldan farqli vektorni uning uzunligiga bolish bilan birlik vector hosil qilinadi, ya’ni bo‘lsa, u holda birlik vector bo‘ladi.



9- chizma

Bu yerda va koordinata o‘qlarining yo‘naltiruvchi vektorlari. vektorni ga bo‘lib o‘qi bilan burchak tashkil qiluvchi birlik vector hosil qilingan. Shu sababli deb yozish mumkin. Yuqoridagi chizmadan korinib turibdiki bo‘ladi.

Xuddi shunday uch o‘lchovli fazoda birlik vektorlarning koordinatalari uning yo‘naltiruvchi kosinuslaridan iborat, ya’ni agar bo‘lsa,

, (*) ga ko‘ra

formulani hosil qilish mumkin, ya’ni vektorning yo‘naltiruvchi kosinuslari kvadratlarining yig‘indisi birga teng.

Vektor ko‘paytma ta’rifini kiritishdan avval, biz uchta o‘zaro nokomplanar vektor uchligining fazoda joylashishi bilan bog‘liq bo‘lgan zarur bir tushunchani kiritamiz. Shuni aytib o‘tamizki, keyingi punktlarda yuritiladigan mulohazalar faqat uch o‘lchovli fazoga doir bo‘ladi.

Agar komplanar , va vektorlar boshi umumiy nuqtaga keltirilgandan so‘ng vektorning oxiridan (uchidan) qaraganda vektordan vektoga qarab dan kichik burchakka burish soat miliga qarama-qarshi bo‘lsa, bu , , uchlik o‘ng uchlik, aks holda chap uchlik deyiladi. Chap va o‘ng uchlikni tashkil etadigan uchlik tartiblangan uchlik deb yuritiladi.

Biz o‘ng uchlikdan foydalanamiz.

Ta’rif. va vektorlarning vektor ko‘paytmasi deb quyidagi shartlarni qanoatlantiradigan vektorga aytiladi.

1) vektor va vektorlarga perpendikulyar (ortogonal)

2)

3) , , vektorlarning tartiblangan uchligi o‘ng uchlikni tashkil etadi.

9- chizma

(Bu ta’rifda deb faraz qilinadi) va vektorlarning vektor ko‘paytmasi yoki ko‘rinishida yoziladi. Agar va vektorlar kollinear bo‘lmasa, u holda son va vektorlarga ysalgan parallelogrammning S yuziga teng bo‘ladi. Shunday qilib, .

Agar va vektorlar kollinear bo‘lsa, u holda , chunki yoki da .

1-misol

Agar bo‘lsa, ni hisoblang.

► va vektorlarning vektor ko‘paytmasi uzunligi, shu vektorlar uzunliklari ko‘paytmasi bilan ular orasidagi burchak sinusi ko‘paytmasiga teng. va vektorlarning skalyar ko‘paytmasi ga asosan:

Bundan

U holda

Demak,

◄