Vektorlar va ularning chiziqli kombinatsiyalari

3. Vektorlarning skalyar va vektor kopaytmalari.

Ta’rif.Ikki va vektorning skalyar ko‘paytmasi deb, bu vektorlar

uzunliklarini ular orasidagi burchak kosinusi bilan ko‘paytmasiga teng bo‘lgan

songa aytiladi va yoki bilan belgilanadi.

Ta’rifga ko‘ra,

Skalyar ko‘paytma tushunchasining manbai mexanikadir. Haqiqatan, agar ozod vektor qo‘yilgan nuqta vektorning boshidan oxiriga siljuvchi kuchni tasvirlasa, bu kuch bajargan ish ushbu tenglik bilan aniqlanadi:

Agar ko‘paytmani ko‘rinishda yozib, ekanini e’tiborga olsak, ni hosil qilamiz.

ekanligini e’tiborga olsak, ni hosil qilamiz. Demak,

formulalar o‘rinli. Boshqacha aytganda, ikki vektorning skalyar ko‘paytmasi ulardan birining uzunligi miqdori bilan ikkinchisining shu vektor yo‘nalishidagi proeksiysi ko‘paytmasiga teng.

6- chizma

Agar ikki vektor orasidagi burchak ga teng bo‘lsa, ular ortogonal vektorlar deyiladi.

Skalyar ko‘paytmaning bir qator eng sodda xossalarini keltiramiz:

1-teorema. Agar bo‘lsa, u holda va vektorlar ortogonal bo‘ladi.

2-teorema. Har qanday vektorning shu vektorning o‘ziga skalyar ko‘paytmasi bu vektorning uzunligi kvadratiga teng, ya’ni


Izoh: Vektor uzunligini ko‘rinishda ham belgilanadi va buni vector normasi deb ham yuritiladi.

3-teorema. Skalyar ko‘paytma o‘rin almashtirish qonuniga bo‘ysunadi, ya’ni ixtiyoriy ikki va vektorlar uchun munosabat o‘rinli.

4-teorema. Skalyar ko‘paytma skalyar ko‘paytuvchiga nisbatan gruppalash qonuniga bo‘ysunadi, ya’ni munosabatlar o‘rinli.

5-teorema. Skalyar ko‘paytma qo‘shishga nisbatan taqsimot qonuniga bo‘ysunadi, ya’ni ixtiyoriy uchta , va vektorlar uchun ushbu tenglik o‘rinli: