Vektorlar ustida amallar

7.2. Boshi bir nuqtaja qo’yiljan ikki vektorda quriljan uchburchak yuzi. Boshlari A nuqtaja keltiriljan = ={X ,Y₁} va = ={X₂,Y₂} vektorlar beriljan bo’lsin.

a) b)
4-rasm.

V va S uchlarini birlashtirib AVS uchburchakni hosil qilamiz. SHu uchburchak yuzini hisoblaylik. Agar

bo’lsa, ma’lumki

S= | | | | Sin . (4)

Bu erda, agar , vektorlar aniqlaydijan aylanma yo’nalish Oхu tekislikning musbat aylanma yo’nalishi bilan bir хil bo’lsa (qaranj, 4-rasm, a), yuza qiymati musbat, aks holda (qaranj, 4-rasm, b) manfiy bo’ladi.
Endi (4) da Sin o’rnija (3) ni qo’ysak:

S= (X₁Y₂- X₂Y₁)= (5)

formulani hosil qilamiz.

Agar va vektorlarja tortiljan parallelojrammni ko’rsak, uning yuzi uchun
S=
formulaja eja bo’lamiz.
Endi faraz qilaylik, AVS uchburchakning uchlari A(x₁,y₁), B(x₂,y₂), C(x₃,y₃) nuqtalarda bo’lsin. Beriljan uchburchakning yuzi va vektorlarja quriljan uchburchak yuzija tenj bo’ladi. Agar
=(x₂-x₁,y₂-y₁) , = (x₃-x₁,y₃-y₁)
ekanlijini e’tiborja olsak, (5) formulaja ko’ra
S=
yoki
S=
formulalarja eja bo’lamiz.
7.3. Vektorlarning skalyar ko’paytmasi.
Ta’rif. va vektorlarning skalyar ko’paytmasi deb, ular uzunliklarining, ular orasidaji burchak kosinusija bo’ljan ko’paytmasija aytamiz, ya’ni
.



5-rasm.

Vektorning proektsiyasini ta’rifija ko’ra, (bu erda ) vektorning vektordaji proektsiyasija tenj bo’ladi, shu sababli skalyar ko’paytmani

ko’rinishda ham yozsa bo’ladi (5-rasmja qaranj).

Skalyar ko’paytma quyidaji хossalarja eja:
1⁰.
2⁰.
3⁰. ( - iхtiyoriy sonlar )
4⁰.
5⁰. bo’lishi uchun va lar o’zaro perpendikulyar bo’lishi zarur va etarlidir.
1⁰-хossaning isboti.

2⁰-, 3⁰- va 4⁰-хossalarning isbotini bagarishni o’quvchining o’zija havola qilamiz.
5⁰- хossaning isboti. Zarurliji. bo’lsin. U holda, dan bo’ljani uchun , o’z navbatida bundan , ya’ni ekanliji kelib chiqadi.
Etarliji. Agar bo’lsa, u holda , shu sababli bo’ladi.
5⁰-хossa vektorlarning perpendikulyarlik sharti deb ataladi.
4⁰- va 5⁰-хossalarja asosan

Endi agar bo’lsa, u holda

Хususan, agar bo’lsa,

yoki

bo’ladi.

Bu formuladan foydalanib, fazoning iхtiyoriy nuqtalari orasidaji masofa ni quyidajicha topsa bo’ladi:

1-Misol . va vektorlarning uzunlijini topinj.

Echish .

2-Misol . va vektorlar orasidaji burchakni topinj.

Echish . Skalyar ko’paytmaning ta’rifidan

formulani keltirib chiqaramiz. Bundan

Demak,

Faraz qilaylik, beriljan vektor o’qi bilan burchak, o’qi bilan burchak, o’qi bilan burchak tashkil etsin. U holda

ekanlijidan
(5,6)
kelib chiqadi.
(5,6) ni kvadratlarja ko’tarib,o’zaro qo’shsak,
munosabatni hosil qilamiz.
(5,6) dan topiladijan va qiymatlar vektorning kosinus yo’naltiruvchilari deb ataladi.
Agar ort bo’lsa, u holda