Vektorlar nazariyasi elementlari

2.1.1. Chiziqli bog‘liq va chiziqli erkli vektorlar sistemasi. Bazis.

Bizga ta vektorlar va ta sonlar berilgan bo‘lsin, bu sonlarning mos vektorlarga ko‘paytmalarining yig‘indisini tuzamiz.

Quyidagi ifodaga vektorlar sistemasining chiziqli kombinatsiyasi deyiladi.

vektorlar sistemasi uchun kamida bittasi noldan farqli shunday ta sonlar mavjud bo‘lsaki, ular uchun vektorlar sistemasining chiziqli kombinatsiyasi nolga teng, ya’ni

(2.3)

bo‘lsa, bunday vektorlar sistemasiga chiziqli bog‘liq sistema deb ataladi. Aks holda vektorlar chiziqli erkli deyiladi, ular uchun (2.3) tenglik faqat bo‘lgandagina o‘rinli bo‘ladi.

Agar vektorlar chiziqli bog‘liq bo‘lsa, (2.3) dagi biror vektorni boshqa vektorlar orqali ifodalab olish mumkin. ifodani qoldirib qolgan ifodalarni tenglikning o‘ng tomoniga o‘tkazib ga bo‘lsak,

va belgilash kiritsak, bu vektor qolgan vektorlarning chiziqli kombinatsiyasidan iborat bo‘ladi:

. (2.6)

Agar vektorlardan kamida biri qolgan vektorlarning chiziqli kombinatsiyasidan iborat bo‘lsa, u holda bu vektorlar chiziqli bog‘liqdir. Aks holda barcha vektorlar chiziqli erkli bo‘ladi.

Ixtiyoriy vektorni ta chiziqli erkli vektorlarning chiziqli kombinasiyasi ko‘rinishida ifodalash mumkin bo‘lsa, u holda shu ta vektorlar fazoning bazisi deyiladi.

Bazisni hosil qiladigan vektorlar soni fazoning o‘lchami deb ataladi. Bazisga kiruvchi vektorlar bazis vektorlar deb ataladi.

1. 
   To‘g‘ri chiziqning o‘lchami 1 ga teng, chunki to‘g‘ri chiziqda istalgan vektor bazis hosil qiladi, qolgan vektorlar shu bazis vektor orqali ifodalanadi:
   

(1 o‘lchovli fazo)

2. 
   Tekislikning o‘lchami 2 teng, chunki tekislikda kollinear bo‘lmagan istalgan ikkita va vektor chiziqli erkli bo‘lib, bazis hosil qiladi, qolgan vektorlarni esa ular orqali ushbu ko‘rinishda ifodalash mumkin:
   

(2 o‘lchovli fazo)

3. 
   Fazoda
   

(3 o‘lchovli fazo )

Vektorlarni bazis vektorlarning chiziqli kombinatsiyasi ko‘rinishida ifodalashga bazis bo‘yicha yoyish deyiladi.

Ba’zis vektorning uzunliklari har xil bo‘ladi Biz amaliyotda birlik uzunlikka ega bo‘lgan birlik vektorlardan tashkil topgan bazislar bilan shug‘ullanamiz. Bazis vektorlar bir biriga nisbatan har xil joylashgan (har xil burchak ostida) bo‘ladi. Biz koordinata o‘qlarida yotuvchi, yo‘nalishi koordinata o‘qlarining musbat yo‘nalishi bilan ustma-ust tushuvchi birlik uzunlikka ega bo‘lgan va o‘zaro perpendikulyar bo‘lgan birlik bazis vektorlar bilan shug‘ullanamiz. Bu vektorlar ortonormal vektorlar yoki ortlar deyiladi.

vektorning o‘qlaridagi proeksiyalari mos ravishda bilan belgilasak, uning birlik–bazis vektorlar(ortlar) orqali yozuvi

(2.7)

dan iborat bo‘ladi.

Bu ifodaga vektorning ba’zis vektorlar yoki koordinata o‘qlari bo‘yicha yoyilmasi deyiladi

Koordinata boshidan chiqqan vektorga radius vektor deyiladi.

2.4- misol.

Agar , , vektorlar koordinatalari bilan berilgan bo‘lsa quyidagi vektorlarning koordinatalari aniqlansin:

►

◄