Vektorlar nazariyasi elementlari

Vektor ko‘paytma quyidagi qonunlarga bo‘ysunadi:

1. 
   Vektor ko‘paytmada ko‘paytuvchilar o‘rnini almashtirilsa, uning ishorasi o‘zgaradi, ya’ni
   

2. 
   Vektor ko‘paytma skalyar ko‘paytuvchiga nisbatan guruhlash qonuniga bo‘ysunadi, ya’ni
   
3. 
   va vektorlar yig‘indisi bilan vektorning vektor ko‘paytmasi taqsimot qonuniga bo‘ysunadi, ya’ni
   

Endi vektor ko‘paytmaning koordinatalar orqali yozilishini ko‘rib o‘tamiz. Avvalo koordinata o‘qlarning ortlar uchun quyidagi munosabatlar o‘rinli bo‘lishini eslatib o‘tamiz:

(2.3.2)

Buni qisqacha quyidagi sxema orqali ham berish mumkin.

(2.3.3)

va vektorlar Dekart koordinatalar sistemasida mos ravishda va koordinatalarga ega bo‘lsin, ya’ni

,

ko‘paytma uchun formulani (2.3.2) ni hamda vektor ko‘paytmaning xossalarini e’tiborga olib topamiz:

yoki

Bir xil ortlarga ega bo‘lgan qo‘shiluvchilarni gruppalab yozamiz:

Buni yana ushbu ko‘rinishda yozish mumkin:

(2.3.4)

Bu formuladan quyidagi ikki tasdiq kelib chiqadi:

1. 
   (ikki vektorning kollinear bo‘lish sharti). va vektorlar kollinear bo‘lishi uchun bo‘lishi zarur va etarli.
   
2. 
   (uchburchak yuzining formulasi). va vektorlarga uchburchak yasalgan bo‘lsin, u holda bu uchburchakning yuzi:
   

(2.3.5)

(2.3.1) va (2.3.5) formulalar vektor ko‘paytmaning geometrik tatbiqlari hisoblanadi.

2.9- misol.

Berilgan va vektorlardan tuzilgan parallelogramning yuzini hisoblang.

► (2.3.1) ga binoan, . Vektor ko‘paytma xossalari va (2.3.2)ga asosan esa, bo‘ladi. Demak, parallelogramm yuzi ◄
Quyida aralash ko‘paytmaning fizik tatbiqiga bir masala ko‘ramiz:
2.10- misol.

Agar nuqtaga kuch qo‘yilgan bo‘lsa bu kuchning nuqtaga nisbatan momenti topilsin.

► vektorni aniqlaymiz: , . nuqtaga qo‘yilgan kuchning momenti

formula bilan topiladi. Bu formulaga asosan quyidagini topamiz:

. ◄