Vektorlar algebrasi

Maksvell-Lorentz tenglamalarining birinchi jufti. Elektromagnit maydon qonunlarini aniqlovchi asosiy tenglamalarni aniqlashga kirishamiz. Vektor analizi kursidan ma’lumki, birorta vektorning divergensiyasi va rotori ma’lum bo’lsa, u aniqlangan hisoblanadi. 7-ma’ruza (13) va (14) ifodalarda biz elektr va magnit maydonga matematik ta’rif bergan edik, ya’ni E = H = . Bu ifodalarning birinchisidan rotor olamiz: rot E = - rot grad - . O’ng tomondagi birinchi had aynan nolga tengligini hisobga olib, elektr maydonni aniqlovchi quyidagi tenglamani olamiz: rot E = - . (1) Bu yerda H =rot A ni hisobga oldik. Bu tenglamadan quyidagi xulosa kelib chiqadi: Vaqt bo’yicha o’zgaruvchi magnit maydon uyurmali elektr maydonini keltirib chiqaradi. Endi magnit maydonni aniqlovchi birinchi tenglamani hosil qilamiz. Buning uchun magnit maydon kuchlanganligidan divergensiya olamiz va div rot A ekanligini hisobga olib, quyidagini hosil qilamiz: div H = 0. (2) Bu tenglama magnit maydonni hosil qiluvchi manba – magnit zaryadlari yo’qligini ko’rsatadi. (1) va (2) ifodalar Maksvell-Lorentz tenglamalarining birinchi jufti (differensial ko’rinishi) deyiladi. Bu tenglamalar hali elektr va magnit maydonni to’liq aniqlamaydi. Birinchidan, yuqorida ta’kidlaganimizdek, div E va rot H larni aniqlovchi tenglamalar yo’q, ikkinchidan, (1) tenglamada magnit maydonning vaqt bo’yicha o’zgarishi ishtirok etmoqda. Shu vaqtda elektr maydonining vaqt bo’yicha o’zgarishi yuqoridagi tenglamalarda yo’q. Bu masalaga keyinroq qaytamiz. Endi Maksvell-Lorentz tenglamalari birinchi juftining integral ko’rinishini hosil qilamiz. Buning uchun (2) tenglamaning har ikkala tomonini ixtiyoriy V hajm bo’yicha integrallaymiz: dV = 0 . (3) Bu tenglamaga Ostrogradskiy-Gauss formulasi dV ni tatbiq qila-miz: . (4) Vektordan birorta sirt bo’yicha integral ( ) shu sirt bo’yicha vektorning oqimi deyiladi. (4) tenglamaga asosan istalgan berk sirt bo’yicha magnit maydon oqimi nolga tengligi kelib chiqadi. Bunday xossaga ega bo’lgan maydon toza uyurmali deyiladi. Shunday qilib, magnit maydon uyurmali bo’lib, kuch chiziqlari berk chiziqlardan iborat va yopiq sirt bo’yicha uning oqimi nolga teng. Tenglamaning har ikkala tomonini ixtiyoriy S sirt bo’yicha integrallaymiz: E dS = - dS. (5) Bu tenglamaning chap tomoniga Stoks formulasi dS ni tatbiq qi-lamiz: (6)Bu yerda integrallash sirti vaqt o’tishi bilan o’zgarmaydi, deb vaqt bo’yicha hosila bilan integralning o’rni almashtirildi.Chap tomondagi integral S sirtni tortib turuvchi berk kontur bo’yicha olinadi. Berk kontur bo’yicha olingan integral shu vektorning sirkulyatsiyasi deyiladi. Elektr maydon sirkulyatsiyasi shu konturdagi elektr yurituvchi kuch (EYuK) deyiladi. Shunday qilib: Konturdagi elektr yurituvchi kuch shu kontur tortib turgan sirtdan o’tayotgan magnit oqimining vaqt bo’yicha o’zgarishiga teskari ishora bilan proporsional ekan. Bu qonun elektromagnit induksiya yoki Faradey induksiya qonuni deyiladi. (4) va (5) ifodalar Maksvell-Lorentz birinchi juft tenglamalarining integral ko’rinishini beradi. Maksvell-Lorentz tenglamalrining birinchi lufti (1) va (2) nielektromagnit maydon tenzori 8-ma’ruza (9) ifodasidan foydalanib, to’rt o’lchovli ko’rinishda ham yozish mumkin. Misol sifatida (1) tenglamaning x o’qiga proyeksiyasini to’rt o’lchovli belgilashlarda yozamiz: rot_x E + = 0 yoki - + = 0. Bu tenglamani E_y = - F₂₀ , E_z = F₀₃ , H_x = F₃₂ va y = x², z = x³ ct =x⁰ ekanligini hisobga olib, qayta yozamiz: + + = 0. (7) Shunga o’xshash (1) tenglamaning y va z o’qlariga proyeksiyalarini va (2) tenglamani to’rt o’lchovli belgilashlarda yozamiz: + + = 0, (8) + + = 0, (9) + + = 0. (10) (7) – (10) tenglamalarni umumlashtirib, Maksvell-Lorentz tenglamalarining birinchi juftini to’rt o’lchovli ko’rinishda yozish mumkin: + + = 0. (11) Bunda har bir had uchinchi rangli antisimmetrik tenzor bo’lganligi uchun (11) ga bitta to’rt o’lchovli vektorni mos keltirish mumkin: = 0. (12)