|
Fazoda koordinatalar metodi. Koordinatalar sistemasini almashtirish.
Reja.
1.Affin koordinatalar sistemasi.
2.Kesmani berilgan nisbatda bo’lish.
3.Koordinatalar sistemasini almashtirish.
4.To’g’ri burchakli dekert koordinatalar sistemasi.
5. Vektorlarni yo’naltiruvchi kosinuslari.
1. Affin koordinatalar sistemasi.
Fazoda biror O nuqtadan qo’yilgan uchta nokomplanar vektorlar berilgan bo’lsin.Ma’lum tartibda olingan bu uch vektor sistemasi B(O, ) bazisni aniqlaydi. O nuqtadan o’tib, vektorlar bilan aniqlanadigan to’g’ri chiziqlarni Ox, Oy, Oz koordinata o’qlari deb ataladi va Ox- abstsissalar o’qi, Oy- ordinatalar o’qi, Oz- applikatalar o’qi deb ataladi. Bu o’qlar bilan aniqlangan tekisliklar xOy, xOz, yOz bo’lib, koordinata tekisliklari deyiladi.
B sistema berilganda har bir M nuqtaga aniq bir vektorni doimo mos keltirish mumkin, ya’ni boshi O nuqta oxiri esa berilgan M nuqtadagi vektor: (x;y;z) M(x;y;z) M nuqtaning affin reperdagi koordinatalari. Demak, fazo nuqtalari to’plami bilan ma’lum tartibda olingan haqiqiy sonlar uchliklari to’plami orasida ikki tomonlama moslik mavjud.
Fazoda affin reper berilgan B(O, ) fazoning M nuqtasi uchun radius vector deb ataladi va = x yoziladi. (1).
Umuman M(a;b;c) nuqtani yasash uchun Ox o’qida a ni uning oxiridan Oy o’qqa // holda b n uni oxiridan Oz o’qqa // holda c ni yasaymiz.
Shu vektorning oxirgi uchi izlangan nuqta bo’ladi.
Uchta koordinata tekisligi fazoni 8 ta oktantalarga ajratadi.
Oktantalar
koordinatalar
|
|
|
|
|
|
V
|
V
|
V
|
V
|
X
|
|
+
|
-
|
-
|
+
|
+
|
-
|
-
|
+
|
Y
|
|
+
|
+
|
-
|
-
|
+
|
+
|
-
|
-
|
Z
|
|
+
|
+
|
+
|
+
|
-
|
-
|
-
|
-
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
2. Kesmani berilgan nisbatda bo’lish.
Biror B(O, ) affin reperida M (x ;y ;z ) va M (x ;y ;z ) M M nuqtalar biror ( -1) son berilgan bo’lsin.
Ta’rif: M nuqta uchun (2) shart bajarilsa, M nuqta M M kesmani nisbatda bo’ladi deyiladi.
ga asosan = x , = x , x .
- =( x )-( x )= (x-x ) .
= (x )-( x ) =(x -x) bo’lib,
( x-x , y-y , z-z ) va (x -x; y -y; z -z). Bularni (2) ga qo’yib,
( ) = ( bundan
Bular berilgan kesmani berilgan nisbatda bo’luvchi nuqtaning koordinatalari. Agar M nuqta kesmaning o’rtasi bo’lsa, =1 bo’lib,
x= koordinatalari shu bo’ladi.
Misol. B(O, ) affin reperida ucchlari A(2;3;-1), B(3;0;-1), C(1;1;1) nuqtalarda bo’lgan ni yasang va og’irlik markazining koordinatalarini toping.
Yechish: A(2;3;-1) .
B(3;0;-1) .
C(1;1;1) .
Og’irlik markazi medianalar kesishgan nuqtasini topish uchun, masalan, BC kesmaning o’rtasi D nuqtaning koordinatalarini topaylik.
Medidana xossasidan foydalanib, AD ni 2:1 nisbatda bo’luvchi M nuqtaning kloordinatalarini topamiz. M(2; ) Shu izlangan M nuqta bo’ladi.
3.Koordinatalar sistemasini almashtirish.
Ba’zi fazodagi biror nuqtaning tayin bir sistemadagi koordinatalardan boshqa sistemadagi koordinatalariga o’tishga to’g’ri keladi.
Affin reperini boshlari har xil bo’lib, bazis vektorlari mos ravishda collinear bo’lsin, ya’ni O , // , // , // va ning B(eski) ga nisbatan koordinatalari a,b,c bo’lsin .U holda nuqtaning B va ga nisbatan koordinatalarini mos ravishda x;y;z va bo’lsin.
M(x;y;z) .
M( .
.
Lekin bo’lgani uchun
Bazis vektorlar mos ravishda collinear bo’lgani uchun = , = , = bo’lib, =(a+ .
Ikki vektorning tenglik shartidan x= bo’lib, koordinatalare sistemasini parallel ko’chirish formulalari bo’ladi. Agar = = =1 bo’lsa, ya’ni bazis vektorlar o’zaro teng bo’lsa(mos ravishda) x= ko’rinishni oladi. Ushbu alamashtirish affin reperida o’rinli bo’lish bilan birga dekart sistemasida ham o’rinli bo’ladi.
4.To’g’ri burchakli dekart koordinatalar sistemasi.
Affin sistemasining xususiy hollaridan biri to’g’ri burchakli dekart koordinatalar sistemasidir.
Affin sistemasidagi basiz vektorlar ortonormallangan bo’lsa, ya’ni ularning har ikkitasi o’zaro perpendikulyar bo’lib, har biri birlik vektor bo’lsa, (O; ) dekert reperi hosil bo’ladi. Bunda
va bo’lib,metric masalalarni yechish ancha qulay.
1) berilgan | | ni hisoblang.
= |a| = |a| = |a| =
2) va vektorlarning skalyar ko’paytmasini toping . =
=
* =( )*( )= …= x + y +z z
3) va vektorlar orasidagi burchakni toping.
ning vektorga proektsiyasi pr =
* =|a|*|b| cos( ;^ ) dan cos( ;^ )= agar bu yerda x + y +z z =0 bo’lsa, ya’ni * =0 cos( ;^ )=0, ;^ = bo’lib, bo’ladi va aksincha =kx , =ky , z =kz bo’lsa, cos( ;^ )= , ;^ =0 yoki ;^ =180 bo’lib, // (kollinear ) bo’ladi. .
4) M va M nuqtalar berilgan bo’lsin.
Haqiqatan = , = .
- = =(x -x ) .
.
5. Vektorlarni yo’naltiruvchi kosinuslari.
ning o’qlar bilan tashkil etgan burchaklari bo’lsin.
ning o’qlardagi proyektsiyalari X;Y;Z bo’lganligidan X=|a| cos , Y=|a| cos , Z=|a| cos bo’lib, cos = .
Bular vektorning yo’naltiruvchi kosinuslar deyiladi.
Bularni kvadratga oshorib qo’shsak, cos
Tekshirish uchun savollar va mashqlar:
Affin koordinatalar sistemasini tushuntirib bering.
Kesmani berilgan nisbatda bo`lish nima?
Ikki nuqta orasidagi masofa formulasini ayting.
Koordinatalar sistemasi qanday almashtiriladi?
Dekart sistemasida qanday metrik masalalarni bilasiz.
Do'stlaringiz bilan baham: |
