Variatsiya to’g’risida tushuncha va variyatsiya

O’rtacha kvadrat chetlanish yoki dispersiya ( ² ) deb variantlar bilan o’rtachani farqi kvadratlari yig’indisining variantlar soni nisbatiga aytiladi.
Dispersiyani quyidagi formulalar bilan hisoblaymiz:
Oddiy qatorlar uchun  ²  ^{(х  х)}2
n
Tortilgan qatorlar uchun ²  ^{(х  х)} 2 ^f
f

Bu erda ham o’rtacha arifmetikning xossalari buzildi, ya’ni ( x  x ) kvadratga ko’tarilib, ikki baravarga ko’paytirildi. Ularni o’z holiga olib kelish uchun kvadrat ildizdan chiqariladi, ya’ni o’rtacha kvadratik chetlanish hisoblaniladi.

O’rtacha kvadratik chetlanish ( ) deb o’rtacha kvadrat chetlanishning kvadrat ildizdan chiqarilgan miqdoriga aytiladi va quyidagi formulalar bilan aniqlanadi:
Oddiy qatorlar uchun  
Tortilgan qatorlar uchun  

Yuqorida ko’rib chiqilgan variatsiya ko’rsatkichlari o’rganilayotgan hodisa va voqealar qanday birliklarda (so’m, tonna, metr va h.k.) ifodalangan bo’lsa, ular ham shu birliklarda ifodalanadi. Bu esa turli xildagi hodisa va voqealar uchun hisoblangan ko’rsatkichlarni taqqoslashga imkon bermaydi. Ushbu muammo statistikada variatsiya koeffitsientini hisoblash bilan hal etiladi.

Variatsiya koeffitsienti (V) deganda, o’rtacha kvadratik tafovutning ( ) o’rtacha miqdorga ( х ) nisbati tushuniladi. Bu ko’rsatkich foizda ifodalanadi va quyidagi formula bilan aniqlanadi:


V  ^ 100
x
1-jadval ma’lumotlari asosida variatsiya ko’rsatkichlarini hisoblaymiz.

1-jadval
O’rtacha kvadratik chetlanishni aniqlash

Ish normasini bajarganlar bo’yicha guruhlar, %	Sotuvchilar soni, (f)	Intervalning o’rtacha qiymati, x	xf	х  х	( х  х )^2	x  x ^2f
90-100	28	95	2660	-10	100	2800
100-110	48	105	5040	0	-	-
110-120	20	115	2300	+10	100	2000
120-130	4	125	500	+20	400	1600
Jami	100	-	10500	-		6400

Birinchi navbatda o’rtacha norma bajarilishini aniqlaymiz:

_{х } хf _ 95  28 105  48  115  20 125  4 _ 2660  5040  2300  50 _ 10500 _{ 105%}

f 28  48  20  4
28  48  20  4
100

Variantalarning o’rtachadan tafovuti va ularni kvadrati 5.9-jadvalda berilgan.

Dispersiyani aniqlaymiz.

_{ 2 } (х  х)² f
f
_ 6400 _{ 64}
100

bu erdan o’rtacha kvadratik chetlanish teng:
     8
Variatsiya koeffitsientini hisoblaymiz:


_{V }  100 _ 8 100 _{ 7,62%}
x 105

2. Dispersiyaning asosiy xossalari

O’rtacha kvadrat chetlanish bir qancha matematik xossalarga ega, ular uni hisoblashni soddalashtiradi yoki engillashtiradi.

1. 
   Agar belgining alohida miqdorlaridan qandaydir bir “A” sonni ayirsak yoki qo’shsak bunda o’rtacha kvadrat chetlanish o’zgarmaydi:
   

^{ 2} ( x A) ^{  2}
Demak, dispersiyani faqat belgilangan variantlar asosida emas, balki shu variantalarning qandaydir bir o’zgarmas “A” sonidan bo’lgan chetlanishi asosida hisoblash ham mumkin.

^{ 2   2} ( x  A)

2. 
   Agar belgining alohida miqdorlarini qandaydir o’zgarmas “A” songa bo’lsak yoki ko’paytirsak, unda o’rtacha kvadrat chetlanish A² ga, o’rtacha kvadratik chetlanish esa A martaga kamayadi yoki ko’payadi:
   

_{ 2} x A
  ² : A²