Va kommunikatsiyalarini rivojlantirish vazirligi muhammad al-xorazmiy nomidagi toshkentaxborot texnologiyalari universiteti qarshi fliali

O’ZBEKISTON REPUBLIKASI AXBOROT TEXNOLOGIYALARI
VA KOMMUNIKATSIYALARINI RIVOJLANTIRISH VAZIRLIGI
MUHAMMAD AL-XORAZMIY NOMIDAGI TOSHKENTAXBOROT
TEXNOLOGIYALARI UNIVERSITETI QARSHI FLIALI

“ TT va KT “ FAKULTETI 1-BOSQICH AX 11-21 GURUX
TALABASINING DEFFERENSIAL TENGLAMALAR FANIDAN
MUSTAQIL ISH
Bajardi: Mustafoyev Bahrom
Qabul qildi: Soibnazarov J.
QARSHI – 2022
O’zgarmas koeffisiyentli chiziqli bir jinsli yuqori tartibli differensial tenglamalar


R E J A:

1. 
   O’zgarmas koeffisiyentli chiziqli bir jinsli differensial tenglamalar sistemasi
   

2. 
   O’zgarmas koeffisiyentli chiziqli bir jinsli differensial tenglamalar sistemasini yechish usullari
   

O’zgarmas koeffisiyentli chiziqli differensial tenglamalar sistemasi.

Bunday sistemaning sodda ko’rinishi

dan iborat, bunda o’zgarmas sonlar. esa ko’rilayotgan oraliqda aniqlangan va uzluksiz funksiyadir.
Ma’lumki, bir jinsli bo’lmagan chiziqli differensial tenglamalar sistemasining umumiy yechimini topish uchun, unga mos bo’lgan bir jinsli chiziqli differensial tenglamalar sistemasining umumiy yechimini topishga to’g’ri keladi.
Shuning uchun xam biz dastavval o’zgarmas koeffisiyentli bir jinsli chiziqli differensial tenglamalar sistemasining umumiy yechimini kvadraturasiz topish usulini qaraymiz.
Bir jinsli, o’zgarmas koeffisiyentli chiziqli differensial tenglamalar sistemasi berilgan bo’lsin.
(2)
Ma’lumki (2) sistemani, unga ekvivalent bo’lgan bitta -tartibli differensial tenglamaga keltirish mumkin.
Shuning uchun (2) sistemasining xususiy yechimlarini
(3)
ko’rinishda izlaymiz.
Bunda va lar o’zgarmas sonlardir.
Ularni shunday tanlab olamizki (3), (2) sistemani qanoatlantirsin.
Buning uchun (2) ga (3) olib borib qo’yamiz.
yoki buni ochib yozsak
(4).
Bu larga nisbatan bir jinsli algebraik tenglamalar sistemasidir.Bu sistema trivial bo’lmagan yechimga ega bulishligi uchun, uning asos determinanti nolga teng bo’lishi zarur.
(5).
(5) ga (2) sistemaga mos bo’lgan xarakteristik tenglama deyiladi. Uning ildizlariga xarakteristik son deyiladi.
(5) ga nisbatan n- darajali algebraik tenglamadir
(3), (2) sistemaning xususiy yechimi bo’lishligi uchun (5) xarakteristik tenglamaning ildizi bo’lishi kerak.
(4) ning koeffisiyentlaridan ushbu matrisani tuzamiz
(6).
a) Faraz etaylik xarakteristik tenglamaning ildizlari haqiqiy va bir-biriga teng bo’lmasin.
Agar ildizni (5) ga olib borib qo’ysak
(7) bo’ladi.
Isbot etamizkim qiymatda (5) determinantning xech bo’lmaganda tartibli minorlaridan biri nolga teng bo’lmaydi.
Haqiqatan xam xarakteristik tenglamaning oddiy ildizi bo’lgani uchun
(8)
nolga teng bo’lmaydi.
Ikkinchi tomondan
(9)
Bunda determinantdagi elementining algebraik tuldiruvchisi bo’ladi.Agar kiymatini (9) keltirib qo’ysak (8) ga asosan larning xech bo’lmaganda biri nolga teng bo’lmaydi, ya’ni (9) dagi n-1 tartibli determinantlardan xech bo’lmaganda biri nolga teng bo’lmaydi.
Bundan, (6) matrisaning rangi n-1 ga tengligi kelib chiqadi. Ya’ni (4) sistemadagi tenglamalardan biri qolganlarini natijasi ekanligi kelib chiqadi.
U xolda (4) sistema trivial bo’lmagan yechimlarga ega . Lekin matrisaning rangi n-1 ga teng bo’lgani uchun, bu ildizlar bir-biridan o’zgarmas songa fark kiladi.

Bunda lar o’zgarmas sonlardir.
Agar teng deb, bu qiymatlarni (3) ga qo’ysak, xarakteristik tenglamaning ildiziga mos bo’lgan (2) sistemaning xususiy yechimlari.
(10)
ga ega bo’lamiz.
Ma’lumki (2) sistemaning xususiy yechimlarini biror o’zgarmas songa ko’paytirsak, xosil bo’lgan ifoda yana berilgan sistemaning yechimi bo’ladi.
Shunga kura, xarakteristik tenglamaning ildizlari uchun yukoridagi muloxazalarni ishlatsak, sistemaning n- ta (10) ko’rinishdagi xususiy yechimlarini aniqlash mumkin.
Isbot etish mumkinkim, bu topilgan xususiy yechimlar, berilgan sistemaning fundamental yechimlar sistemasini tashkil etadi.
Misol 1

xarakteristik tenglama tuzamiz

b) Farazetaylikxarakteristiktenglama konpleksildizgaegabo’lsin. Xarakteristiktenglamaningkoeffisiyentlarihaqiqiysonalardaniboratbo’lganiuchunu gaqo’shmabo’lgan kompleksildizgaxamegabo’ladi..
Xarakteristik tenglamaning ildiziga mos bo’lgan (2) sistemaning yechimi

kompleks son bo’lgani uchun uni ko’rinishda yozish mumkin. U xolda

yechimlarga ega bulamiz. Bundan kurinadikim xarakteristik tenglamaning bir juft kompleks ildiziga (2) sistemaning 2 ta haqiqiy yechimi mos keladi.
Misol 2




v) Faraz etaylik xarakteristik tenglama karrali ildizlarga ega bulsin.
U xolda sistemaning umumiy yechimini oldingi metodlar bilan topa olmaymiz. Lekin bu xolda xam uning umumiy yechimini elementar funksiyalar yordamida topish mumkin.
O’zgarmas koeffisiyentli chiziqli differensial tenglamada qurgan edikim agar xarakteristik tenglamaning k- karrali ildizi bo’lsa, tenglamaning bu ildizlariga mos bo’lgan k ta chiziqli bog’liq bo’lmagan yechimlari mavjud bo’ladi.
Sistema uchun kuyidagi teoremani isbotsiz keltiramiz.
TEOREMA. Agar xarakteristik tenglamaning k karrali ildizi bulsa, bu ildizga mos bo’lgan (2) sistemaning yechimlari
(11)
ko’rinishda bo’ladi.
Bunda lar ga nisbatan darajasi dan katta bo’lmagan ko’p xadlilardir. Bu ko’p xadlilarning xar birida ta o’zgarmas sonlar qatnashadi. Bu ko’pxadlilarning xammasidagi xamma koeffisiyentlardan tasi ixtiyoriy bo’lib, qolgan koeffisiyentlar shu ta koeffisiyentlar orqali ifodalanadi.Xususiy xolda ko’pxadlilar o’zgarmas songa teng bo’lishi mumkin. Bu xolda xarakteristik ildizga mos bo’lgan (2) sistemaning yechimi
bo’ladi.
Bundagi sonlardan k tasi ixtiyoriy bo’lib, qolgan koeffisiyentlar ular orqali ifodalanadi.
Amaliyotda ko’pxadlilarning koeffisiyentlarini topish uchun, ularni berilgan (2) sistemaga kuyib, bu ko’pxadlalarning koeffisiyentlariga nisbatan tenglamalar sistemasiga ega bulamiz. Bu koeffisiyentlardan k tasini ixtiyoriy deb, qolgan koeffisiyentlarni ular orqali ifodasini topamiz.
Misol 3


bularni berilgan tenglama kuyib, aniqmas koeffisiyentlar metodidan foydalansak larga nisbatan tenglamalar sistemasiga ega bulamiz.

bulardan

yechimlar

xususiy yechimlarni topish
1)
2)
3)