|
Birinchi tartibli chiziqli diffеrеnsial tеnglamalar.
Nоma`lum
funksiya va uninghоsilasiga nisbatan chiziqli bo„lgan differensial tenglama
birinchi tartibli chiziqli differensial tenglama
deb ataladi.
Chiziqli tenglamaning umumiy ko„rinishi quyidagicha:
)
(
)
(
x
Q
y
x
P
y
, (1.9)
bu yerda
)
(
va
)
(
x
Q
x
P
lar
x
ning uzluksiz funksiyalari(yoki
o„zgarmaslar).
Agar
0
)
(
x
P
yoki
0
)
(
x
Q
bo„lsa, (1.9) tenglama o„zgaruvchilari
ajraladigan tenglama bo„ladi.
0
)
(
x
P
va
0
)
(
x
Q
deb faraz qilamiz.
12
(1.9) tenglamaning yechimini
x
ning ikkita funksiyasining ko„paytmasi
shaklida izlaymiz(
Bernulli almashtirishi
):
)
(
)
(
x
v
x
u
y
uv
y
(1.10)
Bu funksiyalardan birini ixtiyoriy tanlab olish mumkin, ikkinchisini
esa (1.9) tenglama asosida aniqlanadi. (1.10) tenglikdan
y
ni hisoblaymiz
v
u
v
u
y
.
y
va
y
ni (1.9) tenglamaga qo„yamiz
)
(
)
(
x
Q
uv
x
P
v
u
v
u
(1.11)
yoki
)
(
)
)
(
(
x
Q
v
x
P
v
u
v
u
. (1.12)
Funksiyalardan birini ixtiyoriy tanlab olish mumkin bo„lgani uchun
v
funksiyani qavs ichida turgan ifoda nolga teng bo„ladigan qilib
tanlaymiz, ya‟ni
0
)
(
v
x
P
v
(1.13)
bo„lishini talab qilamiz. U holda
u
funksiyani topish uchun (1.12)
tenglikdan quyidagi tenglamani hosil qilamiz:
)
(
x
Q
v
u
(1.14)
Dastlab, (1.13) tenglamadan
v
ni topamiz:
dx
x
P
e
C
v
)
(
.
(1.13) tenglamaning noldan farqli birorta yechimi zarur, shuning
uchun
1
C
deb olamiz. U holda
dx
x
P
e
v
)
(
. (1.15)
v
ning bu topilgan ifodasini (1.14) tenglamaga qo„yib,
u
funksiya
uchun o„zgaruvchilari ajraladigan tenglamani hosil qilamiz:
)
(
(
x
Q
e
u
dx
x
P
.
Bu tenglamaning yechimi
C
dx
e
x
Q
u
dx
x
P
)
(
)
(
. (1.16)
(1.15) va(1.16)lar
u
va
v
ning
x
orqali ifodalarini beradi.
u
va
v
ni
(1.10)ga qo„yib, berilgan chiziqli tenglamaning umumiy yechimini hosil
qilamiz
13
dx
e
x
Q
C
e
y
dx
x
P
dx
x
P
)
(
)
(
)
(
. (1.17)
Quyida biz (1.9) tenglamani yechishning
o`zgarmasni variatsiyalash
usuli
(
Lagranj usuli
) bilan tanishamiz. Buning uchun berilgan tenglamaning
0
)
(
y
x
P
y
bir jinsli qismining umumiy yechimi
dx
x
P
Сe
y
)
(
topiladi. Ixtiyoriy
o`zgarmas
C
ni
x
ning funksiyasi
)
(
x
С
deb olsak,
dx
x
P
e
x
С
y
)
(
)
(
(1.18)
hosil bo`ladi. Uni (1.9) tenglamaga qo`yamiz va
)
(
)
(
)
(
x
Q
e
x
С
dx
x
P
(1.19)
tenglamani hosil qilamiz. Bundan
С
dx
e
x
Q
x
С
dx
x
P
)
(
)
(
)
(
(1.20)
bo`ladi va uni (1.18) ga qo`ysak, berilgan (1.9) tenglamaning umumiy
yechimi (1.17) hosil bo`ladi.
Eslatma.
Ayrim hollarda differensial tenglama
x
ni
y
ning funksiyasi
deb qaralganda chiziqli bo`lishi mumkin. Bu hollarda
)
(
)
(
y
q
x
y
p
dy
dx
tenglama yuqoridagi biror usulda yechiladi.
4-misol.
Koshi masalasi yechimini toping.
.
0
)
0
(
,
2
sin
2
1
cos
y
x
x
y
y
► Birinchi tartibli chiziqli differensial tenglama, chunki
x
x
Q
x
x
P
2
sin
2
1
)
(
,
cos
)
(
uv
y
deb belgilab yechiladi.
x
xdx
dx
x
P
e
e
e
v
sin
cos
)
(
xdx
e
dx
e
x
dx
e
x
Q
u
x
x
dx
x
P
2
sin
2
1
2
sin
2
1
sin
sin
dt
te
dt
xdx
t
x
xdx
x
e
t
x
cos
sin
cos
sin
sin
14
C
e
te
dt
e
te
e
v
dt
e
dv
dt
du
t
u
t
t
t
t
t
t
,
,
.
sin
sin
sin
C
e
xe
x
x
U holda umumiy yechim
)
sin
(
sin
sin
sin
C
e
xe
e
y
x
x
x
,
yoki
x
Ce
x
y
sin
1
sin
.
Boshlang`ich shartga ko`ra,
.
1
1
0
0
0
)
0
(
C
C
y
Demak, Koshi masalasining yechimi
x
e
x
y
sin
1
sin
.◄
Bernulli tenglamasi.
Ushbu
n
y
x
Q
y
x
P
y
)
(
)
(
(1.21)
ko`rinishdagi differensial tenglamaga
Bernulli tenglamasi
deyiladi, bu
yerda
)
(
va
)
(
x
Q
x
P
lar
x
ning uzluksiz funksiyalari, hamda
1
,
0
n
n
.
Bеrnulli tеnglamasini
n
y
ga bo„lamiz:
)
(
)
(
1
x
Q
y
x
P
y
y
n
n
. (1.22)
So„ngra
1
n
y
z
almashtirish bajarib,
'
)
1
(
'
y
y
n
z
n
ekanligini
hisоbga оlib (1.22)ga qo„ysak,
)
(
)
1
(
)
(
)
1
(
'
x
Q
n
z
x
P
n
z
(1.23)
birinchi tartibli chiziqli diffеrеnsial tеnglamaga ega bo„lamiz. Chiziqli
differensial tenglamaning umumiy yechimi topiladi, hamda
z
o„rniga
1
n
y
ni qo„yib, Bernulli tenglamasining umumiy yechimi topiladi.
5-misоl.
3
xy
xy
y
diffеrеnsial tеnglamaning umumiy yеchimini
tоping.
►
Bеrilgan tеnglamani
3
y
bo„lib,
x
x
y
y
y
2
3
tеnglamani hоsil qilamiz.
z
y
2
almashtirish bajarsak,
y
y
z
3
2
bo„ladi. Bularni tеnglamaga qo„yib,
15
x
xz
z
2
2
chiziqli tеnglamaga kеlamiz. Bu tеnglamaning umumiy yеchimini (1.17)ga
asоsan tоpish mumkin:
.
1
)
(
2
)
2
(
2
2
2
2
2
2
2
2
2
2
x
x
x
x
x
x
x
xdx
xdx
Ce
e
C
e
x
d
e
C
e
dx
xe
C
e
dx
e
x
C
e
z
Shunday qilib,
1
2
x
e
C
z
bo„ladi,
z
ning o„rniga
2
y
ni qo„yib, bеrilgan Bеrnulli tеnglamasining
umumiy yеchimini hosil qilamiz
1
1
,
1
2
2
2
2
x
x
Ce
y
e
C
y
.◄
1.2 Yuqori tartibli differensial tenglamalar. Tartibi pasayadigan
differensial tenglamalar
Asosiy tushunchalar.
Ushbu
0
,...,
,
,
,
n
y
y
y
y
x
F
(1.24)
ko`rinishdagi tenglama
n
tartibli differensial tenglama
tenglama deyiladi.
Berilgan
tenglamani
ayniyatga
aylantiradigan
n
marta
differensiallanuvchi
x
funksiyaga uning
yechimi
deyiladi. Bunday
tenglamalar uchun uning
,
0
0
y
x
y
0
0
y
x
y
, … \
1
0
0
1
n
n
y
x
y
boshlang`ich shartlarni qanoatlantiruvchi yechimini topish masalasi
Koshi
masalasi
deyiladi. Agar
n
C
C
C
x
y
,...
,
,
2
1
funksiya o`zgarmas
n
C
C
C
,...
,
2
1
larning mos qiymatlarida tenglamaga qo`yilgan ixtiyoriy Koshi
masalasining yechimi bo`lsa, bu funksiya (2.21) tenglamaning
umumiy
yechimi
deyiladi. Umumiy yechimdan
n
C
C
C
,...
,
2
1
larning muayyan
qiymatida hosil qilingan yechimga
xususiy yechim
deyiladi.
n
tartibli
differensial tenglamalarni ayrim hollardagina integrallash mumkin.
Bulardan biri tartibini pasaytirish mumkin bo`lgan differensial
tenglamalardir.
16
x
f
y
n
Do'stlaringiz bilan baham: |
