8
berilgan tenglamaning yechimi bo`ladi; 2)
ixtiyoriy
)
(
0
0
x
y
y
D
y
x
0
0
,
sohadagi boshlang`ich shart uchun o„zgarmas
С
ning
shunday yagona
0
С
qiymatini topish mumkinki,
)
,
(
0
C
x
y
funksiya
berilgan boshlang„ich shartni qanoatlantiradi.
)
,
(
C
x
y
umumiy yechimdan o`zgarmasning muayyan
0
С
С
qiymatida hosil qilinadigan har qanday
)
,
(
0
C
x
y
qiymatiga
xususiy
yechim
deyiladi.
)
,
(
y
x
f
y
tenglamaning
)
(
0
0
x
y
y
boshlang`ich
shartni
qanoatlantiruvchi xususiy
yechimini topish masalasi
Koshi masalasi
deyiladi.
Diffеrеnsial tеnglama har qanday yеchimining
Oxy
tekisligidagi
grafigi
intеgral chiziq
dеyiladi. Shunday qilib,
)
,
(
C
x
y
umumiy
yechimga
Oxy
tekisligida bir-biridan faqat o`zgarmas
С
ga farq qiladigan
integral
chiziqlarlar
oilasi,
)
(
0
0
x
y
y
boshlang`ich
shartni
qanoatlantiruvchi xususiy yechimiga esa bu oilaning
)
,
(
0
0
y
x
M
nuqtadan
o`tuvchi egri chizig`i mos keladi.
Teorema(Koshi).
Agar
)
,
(
y
x
f
funksiya
D
sohada uzluksiz bo`lsa va
uzluksiz
y
f
xususiy hosilaga ega bo`lsa,
u holda
)
,
(
y
x
f
y
differensial
tenglamaning
)
(
0
0
x
y
y
boshlang`ich shartdagi yechimi mavjud va
yagona.
Eslatma.
Differensial tenglamaning umumiy yechimidan hosil qilib
bo`lmaydigan yechimlari ham bo`lishi mumkin. Bunday yechimlar
maxsus
yechimlar
deb ataladi va uning ixtiyoriy nuqtasida Koshi teoremasining
shartlari buziladi. Masalan,
3
2
1
3
y
y
tenglamaning umumiy
yechimi:
1
3
C
x
y
,
C
ixtiyoriy o`zgarmas.
1
y
funksiya ham
tenglamaning yechimi, lekin uni umumiy
yechimdan hech qanday
o`zgarmas
C
da hosil qilib bo`lmaydi. Demak,
1
y
differensial
tenglamaning maxsus yechimi ekan.
O`zgaruvchilari ajraladigan differensial tenglamalar.
Ushbu
0
)
(
)
(
dy
y
Q
dx
x
P
(1.4)
9
ko`rinishdagi tenglamaga
o`zgaruvchilari ajralgan differensial tenglama
deyiladi. Uning umumiy integrali
С
dy
y
Q
dx
x
P
)
(
)
(
(1.5)
bo`ladi, bu yerda
С
- ixtiyoriy o`zgarmas.
Ushbu
0
)
(
)
(
)
(
)
(
2
2
1
1
dy
y
N
x
M
dx
y
N
x
M
(1.6)
yoki
)
(
)
(
2
1
y
f
x
f
y
(1.7)
ko`rinishdagi tenglamalarga
o`zgaruvchilari ajraladigan differensial
tenglamalar
deiladi. Ularda o`zgaruvchilarni ajratish quyidagicha
bajariladi. (1.6) tenglamaning ikkala qismini,
0
)
(
1
y
N
,
0
)
(
2
x
M
deb
faraz qilib,
)
(
)
(
1
1
x
M
x
N
ga bo`lamiz. (1.7) tenglamada
dx
dy
y
ekanini
e‟toborga olib, uning ikkala qismini
dx
ga ko`paytiramiz va
0
)
(
2
y
f
ga
bo`lamiz.
Natijada, (1.4) shakldagi o`zgaruvchilari ajralgan
0
)
(
)
(
)
(
)
(
1
2
2
1
dy
y
N
y
N
dx
x
M
x
M
,
0
)
(
)
(
2
1
y
f
dy
dx
x
f
tenglamalar hosil bo`ladi va ularni integrallanadi:
С
dy
y
N
y
N
dx
x
M
x
M
)
(
)
(
)
(
)
(
1
2
2
1
,
С
y
f
dy
dx
x
f
)
(
)
(
2
1
.
2-misol.
0
1
1
1
2
2
y
x
y
y
differensial tenglamaning umumiy
integralini toping.
►Tenglamada
dx
dy
y
ekanini e‟toborga olib,
0
1
1
1
2
2
y
x
y
dx
dy
ni
hosil qilamiz va o`zgaruvchlarini ajratamiz:
С
x
dx
dy
y
y
2
2
1
1
.
Integrallab, umumiy yechimini topamiz
10
.
1
arcsin
2
y
x
C
◄
Bir jinsli differensial tenglamalar.
Agar
)
,
(
y
x
f
funksiya uchun
)
,
(
)
,
(
y
x
f
t
ty
tx
f
т
shart bajarilsa(bu yerda
t
- ixtiyoriy parametr),
)
,
(
y
x
f
funksiya
n o‘lchоvli bir jinsli funksiya
deb ataladi, bunda
n
birоr
sоn.
Masalan,
2
)
,
(
y
xy
y
x
f
funksiya
uchun
)
(
)
(
)
,
(
2
2
2
y
xy
t
ty
ty
tx
ty
tx
f
bo„lib,
bu funksiya
2
n
o„lchovli bir jinsli funksiya bo„ladi.
0
,
)
,
(
2
2
n
xy
y
x
y
x
f
o„lchovli bir
jinsli funksiyadir.
)
,
(
y
x
f
y
diffеrеnsial tеnglamada
)
,
(
y
x
f
funksiya nоl o„lchоvli
bir jinsli funksiya bo„lsa, bunday diffеrеnsial tеnglamaga
birinchi tartibli
bir jinsli diffеrеnsial tеnglama
dеyiladi.
)
,
(
)
,
(
y
x
f
ty
tx
f
shartga bo„ysunadigan nоl o„lchоvli
bir jinsli
funksiya
x
y
y
x
f
)
,
(
ko„rinishda yozilishi mumkin. Haqiqatdan ham,
t
parametrni ixtiyoriy tanlab оlish mumkin bo„lgani uchun
x
t
1
dеb оlаmiz.
U holda
x
y
x
y
f
ty
tx
f
y
x
f
)
,
1
(
)
,
(
)
,
(
.
Shunday qilib, bir jinsli diffеrеnsial tеnglamani
x
y
y
ko„rinishda ifodalash mumkin. Bir jinsli tеnglama
)
(
x
xu
y
almashtirish
bilan o„zgaruvchilari ajraladigan
u
u
u
x
)
(
(1.8)
diffеrеnsial tеnglamaga kеltiriladi.
Eslatma.
Ushbu
0
)
,
(
)
,
(
dy
y
x
Q
dx
y
x
P
differensial
tenglamada
)
,
(
y
x
P
va
)
,
(
y
x
Q
funksiyalar bir xil o`lchovli bir jinsli
funksiya bo`lsa, u holda bu tenglama bir jinsli
diffеrеnsial tеnglama
bo`ladi.
11
3-misol.
y
x
y
x
y
2
2
differensial tenglamani yeching.
►Bir jinsli differensial tenglama bo`lgani uchun o`zgaruvchini
quyidagicha almashtirami
x
u
u
y
ux
y
u
x
y
,
u
u
dx
du
x
u
2
2
1
,
u
u
dx
du
x
2
1
2
.
O„zgaruvchilarini ajratamiz va integrallaymiz:
,
1
2
2
x
dx
du
u
u
x
dx
du
u
u
u
2
2
1
1
2
,
,
ln
ln
1
ln
2
1
2
2
C
x
u
arctgu
C
x
x
y
x
y
arctg
ln
ln
1
ln
2
1
2
2
2
,
2
2
ln
2
y
x
C
x
y
arctg
.◄
Do'stlaringiz bilan baham: 
