Uzluksiz tasodifiy miqdorlarning taqsimot va zichlik funksiyalari hamda sonli xaraktеristikalari Endi tasodifiy miqdorning taqsimot funksiyasi uzluksizlik funksiya bo‘ladigan hollarni qaraylik.
O‘z navbatida, ning uzluksiz bo‘lishi uchun iхtiyoriy lar uchun shart bajarilishi zarur va yetarli bo‘ladi.
Keltirilgan mulohazalardan quyidagi
tenglik kelib chiqadi. Ushbu tenglikni quyidagicha tushunish ham mumkin, ya’ni tasodifiy miqdorning biror oraliqda qiymat qabul qilish ehtimolligi ga teng.
Endi ko‘p uchraydigan taqsimotlarga misollar keltiramiz.
1-misol. kesmaga tasodifiy ravishda nuqta tashlanmoqda, ya’ni ga tegishli qaysidir to‘plamga nuqtaning tushish ehtimolligi bu to‘plamning Lebeg o‘lchoviga proporsional bo‘lsin. Bu misol uchun va esa dagi Borel to‘plamostilaridan iborat -algebradir. tasodifiy miqdorni quyidagicha aniqlaymiz:
,
ya’ni tasodifiy miqdor tashlangan nuqtaning dagi qiymatiga teng bo‘lib, o‘lchovli funksiya bo‘ladi. Agar bo‘lsa, bo‘ladi. Endi bo‘lsin. U holda hodisa ro‘y berganda nuqta intervalga tushadi. Bu intervalga tushish ehtimolligi uning uzunligiga proporsional, ya’ni
.
Agar bo‘lsa, bo‘ladi.
Demak, taqsimot funksiyasi quyidagi ko‘rinishga ega:
Yuqoridagi taqsimot funksiyasi bilan aniqlangan tasodifiy miqdor oraliqda tekis taqsimlangan deb ataladi.
2-misol. Agar tasodifiy miqdorning taqsimot funksiyasi
ko‘rinishda bo‘lsa, bunday tasodifiy miqdor parametrlar bilan normal taqsimlangan tasodifiy miqdor deyiladi. Bu yerda – o‘zgarmas sonlar. Agar bo‘lsa, bunday taqsimlangan tasodifiy miqdor standart normal taqsimotga ega deyiladi va uning taqsimot funksiyasi
bo‘ladi. Ushbu tenglikni tekshirib ko‘rish qiyin emas. Bundan va lar mos ravishda taqsimotning “siljishi” va “masshtabi” parametrlari ma’nolariga ega bo‘lishligi kelib chiqadi.
Yuqorida keltirilgan misollarni tasodifiy miqdorlarning absolyut uzluksiz tipi deb qarash mumkin.
Bu tipga taqsimoti ni iхtiyoriy Borel to‘plami B uchun quyida keltirilgan ko‘rinishda ifodalash mumkin bo‘lgan tasodifiy miqdorlar kiradi:
bu yerda .
absolyut uzluksiz taqsimot deyiladi.
O‘lchovlarning davom ettirishning yagonaligi teoremasidan, yuqorida keltirilgan absolyut uzluksizlik ta’rifi barcha lar uchun
ko‘rinishiga ekvivalent ekanligini aniqlash qiyin emas. Bunday хossaga ega bo‘lgan taqsimot funksiyasi absolyut uzluksiz deb ataladi.
f(x) funksiya yuqoridagi tengliklardan aniqlanadi va taqsimot zichligi (zichlik funksiyasi) deb ataladi1. Bu funksiya uchun tenglik o‘rinli. Masalan, parametrli normal qonun uchun zichlik funksiyasi quyidagicha bo‘ladi:
.
zichlik funksiyasi nuqtada eng katta qiymatiga erishadi va uning grafigi to‘g‘ri chiziqqa nisbatan simmetrik joylashgan. Bu funksiya uchun o‘q gorizontal asimptota, nuqtalar bu funksiyaning bukilish nuqtalari bo‘ladi. Zichlik funksiyasining grafigiga parametrning ta’sirini ko‘rsatish maqsadida 10-rasmda ning a=0 va 1) bo‘lgan hollardagi grafiklarini ko‘rsatamiz.
Agar bo‘lsa ham zichlik funksiyasi grafigi хuddi shunday ko‘rinishga ega, faqat a ning ishorasiga qarab o‘ngga (a>0) yoki chapga (a<0) surilgan bo‘ladi.
Zichlik funksiyasiga ega bo‘lmagan uzluksiz tasodifiy miqdorlar ham mavjud. Bunday tasodifiy miqdorlarning taqsimot funksiyalariga singulyar taqsimot funksiyalari deyiladi.
10-rasm
X uzluksiz tasodifiy miqdorning zichlik funksiyasi p(x) bo‘lsin.
1-ta’rif. Uzluksiz tasodifiy miqdorning matematik kutilishi deb, ushbu
integralga (agar bu integral absolyut yaqinlashuvchi bo‘lsa) aytiladi.
1-misol. parametrli normal qonun bilan taqsimlangan X tasodifiy miqdorning matematik kutilishini toping.
Yechish. Ta’rifga asosan
Demak, parametrli normal qonun bilan taqsimlangan tasodifiy miqdorning matematik kutilishi parametrga teng ekan.
2-misol. oraliqda tekis taqsimlangan X tasodifiy miqdorning matematik kutilmasi quyidagicha topiladi:
.
Endi uzluksiz tasodifiy miqdor dispersiyasining ta’rifini beramiz. X tasodifiy miqdorning zichlik funksiyasi bo‘lsin.
2-ta’rif: Uzluksiz tasodifiy miqdorning dispersiyasi deb quyidagi
integralning qiymatiga aytiladi.
3-misol. –parametrli normal qonun bilan taqsimlangan tasodifiy miqdorning dispersiyasini toping.
Yechish. ekanini e’tiborga olgan holda
.
almashtirishni kiritib, u holda bo‘ladi va quyidagini hosil qilamiz:
.
Hosil bo‘lgan integralni bo‘laklab integrallaymiz:
.
Demak, –parametrli normal qonun bilan taqsimlangan tasodifiy miqdorning dispersiyasi teng ekan.
4-misol. oraliqda tekis taqsimlangan X tasodifiy miqdorning dispersiyasini toping.
Yechish. ekanini hisobga olsak,
.
1 Prasanna Sahoo, Probability and mathematical statistics, – USA, University of Louisville, KY40292, 2013. P.55
