Ustida Vektorlar amallar. Vektorlarning koordinatalari

a vа b vektorlarning skalyar ko‘paytmasi a·b, ab yoki (a,b) kabi bеlgilanadi va , ta’rifga asosan,
a·b = |a|·|b|сos (1)
formula bilan aniqlanadi. Bu yerda  orqali (0≤≤π) a va b vеktorlar orasidagi burchak bеlgilangan bo‘lib, u a vektordan b vektorgacha eng qisqa burilish burchagi kabi aniqlanadi. Ikki vektorni (1) ko‘rinishda ko‘paytirish natijasida son, ya’ni skalyar kattalik hosil bo‘ladi va shu sababli a·b vеktorlarning skalyar ko‘paytmasi dеb ataladi.
Skalyar ko‘paytma ta’rifi bo‘yicha yuqorida ko‘rib o‘tilgan ish formulasini A=f·s deb yozish mumkin. Demak, kuch va harakat lektorlarining skalyar ko‘paytmasi bajarilgan ishni ifodalaydi va bu skalyar ko‘paytmani mexanik ma’nosi bo‘ladi.
Skalyar ko‘paytmaning ta’rifidan uning quyidagi xossalari kelib chiqadi:
1. a·b = b·a, ya’ni skalyar ko‘paytma uchun kommutativlik qonuni bajariladi.
Haqiqatan ham, skalyar ko‘paytma ta’rifini ifodalovchi (1) formulaga asosan
a·b =|a|·|b|сos=|b|·|a|сos=b·a.
2. a·a = |a|² , ya’ni vektorni o‘ziga - o‘zining skalyar ko‘paytmasi (bu ba’zan vektorning skalyar kvadrati deyiladi va a² kabi belgilanadi) uning moduli kvadratiga teng. Bu xossa ham skalyar ko‘paytma ta’rifini ifodalovchi (1) formuladan bevosita kelib chiqadi:
a·a = |a|·|a|сos0=|a|² .
3. Ixtiyoriy λ soni uchun (λa,b)=(a, λb)= λ(a,b).
Dastlab (λa,b)=(a, λb) tenglikni o‘rinli ekanligini ko‘rsatamiz. (1) formulaga asosan
(λa,b)= |λa||b|cosφ = |λ|·|a|·|b|cosφ = |a|·|λ|·|b|cosφ = |a||λb|cosφ= (a, λb).
Endi (λa,b)= λ(a,b) tenglikni to‘g‘riligini ko‘rsatamiz. Agar λ≥0 bo‘lsa
(λa,b)= |λ|·|a|·|b|cosφ =λ·|a|·|b|cosφ= λ (a, b).
Agar λ<0 bo‘lsa, λa vektor a vektorga qarama-qarshi yo‘nalgan va shu sababli λa bilan b vektor orasidagi burchak π–φ bo‘ladi. Bu holda cos(π–φ)= – cosφ va
λ = –|λ| bo‘lgani uchun
(λa,b)= |λ|·|a|·|b|cos(π–φ) =–|λ|·|a|·|b|cosφ= λ·|a|·|b|cosφ= λ (a, b).
Jumladan λ=0 holda har qanday a vektor uchun a·0=0·a=0 natijani olamiz.