Urganch davlat universiteti fizika-matematika fakulteti 194-guruh amaliy matematika va informatika yo‘nalishi talabasi Temuriy Kuvanchoyning

II.ASOSIY QISM
O`zgaruvchi koeffisientli chiziqli tenglamalar
Bu bobda tekshirilgan o`zgarmas koeffisientli chiziqli differensial tenglamalardan tashqari, fiziqaviy masalalarni yechda ko`pincha koffisientli tenglamalarga duch kelamiz. Ular,umuman aytganda, chekli ko`rinishda integrallanmaydi (16-§ da ko`rib chiqilgan Eyler tenglamalari bundan mustasno, ular o`zgarmas koeffisientli tenglamalarga keltirilgan edi). Ularning yechimlari yangicha bo`lib, umuman aytganda, noelementar funksialar bo`ladi. Bunday funksialarning hossalarini o`rganishning asosiy manbai − ularni aniqlovchi differensial tenglamalar bo`lib hisoblanadi. Bunday maxsus funksialar yetarlicha to`la o`rganilgan va ularni hisoblash uchun mufassal jadvallar tuzilgan.
Mazkur paragraf o`zgaruvchi koeffisientli ikkinchi tartibli chiziqli differensial tenglamalarning yechimlari bo`lgan ba`zi maxsus funksialar va, shuningdek shunday tenglamalarning o`zi bilan qisqacha tanishishga bag`ishlangan. Ko`pchilik hollarda bunday tenglamalar matematik fizikaning xususiy hosilali tenglamalar bilan tavsiflanadigan masalalarini yechishda hosil bo`ladi, birok bevosita o`zi ham uchrashi mumkin.
Tez-tez uchrab turadigan Bessel differensial tenglamasiga olib keladigan masalani qarab chiqaylik.
Misol.(Balkaning bo`ylama egilishi.) Vertikal turgan va pastki uchi maxkamlangan bo`lib, yuqori uchi erkin bo`lgan l uzunlikdagi prizmatik sterjenning o`z og`irligi ostida egilishini tekshiramiz. Egilgan balka o`qining differensial tenglamasini 12-§ da chiqargan edik. [(24) formulaga qarang]. U quyidagi ko`rinishda edi:


bu yerda M(z) - ko`ndalang kesimning inersiya momenti bo`lib, balka joylashgan sharoitga bog`lik.
Mazkur hol uchun, 45 - rasmdan ko`rinib turganidek, M kattalik ushbu integral bilan aniqlanadi:
<sub>,
Bu yerda q- sterjen uzunlik birligining og`irligi. Integralni balka egilgan o`qining differensial tenglamasiga qo`yib va xosil bo`lgan tenglikning ikkala tomonini z bo`yicha differensiallab, ushbu tenglamani xosil qilamiz:

Bu yerda erkli o`zgaruvchini

deb almashtirish qulay.
u ning x bo`yicha xosilalarini shtrixlar bilan belgilab, quyidagilarni xosil qilamiz:</sub>



Xosilalarning bu qiymatlarini differensial tenglamalaga qo`yib, quyidagi uchinchi tartibli tenglamaga kelamiz:

bu tenglamaning tartibini u`=y deb bir birlik pasaytiramiz,natijada uzil-kesil quyidagi tenglamani xosil qilamiz:
(1)
Bu tenglama Besselning m indeksli tenglamasining hususiy xoli xisoblanadi, u quyidagi ko`rinishga ega:
(2)

2. 
   Tenglamani qanoatlantiradigan funksialar Besselning m- indeksli funlsiyalari yoki Besselning m- tartibli funksialari deyiladi. (1) tenglama m=1/3 dagi Bessel tenglamasi ekanligini ko`rish oson.
   

Bessel tenglamasining umumiy yechimini topish uchun uning ikkata xususiy yechimini topish kifoya, ular yuqorida topishga xarakat qilamiz. x = 0 (2) tenglama uchun maxsus nuqta bo`lgani sababli (tenglamaning koeffisientlari bu nuqtada uzilishga ega) izlanayotgan yechim oddiy darajali qatorga yoyilmasligi xam mumkin. Shuning uchun xususiy yechimlarni
<sub>(3)
umumlashgan darajali qator (a- biror xaqiqiy son) ko`rinishida izlashga xarakat qilamiz. Ravshanki, a butun, manfiy bo`lmaganda (3) qator oddiy darajali qator shaklida bo`ladi.</sub>

2. 
   _{qator ushbu ko`rinishda yozish qulay:}
   

<sub>.
Bu yerdan quyidagilarni topamiz:




larning topigan ifodalarini (2) Bessel tenglamasiga qo`yamiz, bunda dastlab uni

ko`rinishda yozib olamiz. Buning uchun y ning qatorini x2 - m2 ga, y` nikini x ga va y`` nikini esa x2 ga ko`paytiramiz. Bu ifodalarni qo`shib va o`xshasha xadlarni ixchamlab quyidagini xosil qilamiz:


Chap tomonda yozilgan qator nolga yakunlashishi kerak, bu yerda uning barcha koeffisientlari nolga teng bo`lishligi kelib chiqadi. deb xisoblash mumkin. U xolda oldidagi koeffisientlarni nolga tenglab va C0 ga qisqartirib, ushbu aniqlovchi tenglamani xosil qilamiz:

yoki bu terda .
Qolgan koeffisientlarni nolga tenglab, ushbu sistemaga ega bo`lamiz:

Dastlab a= m(>0) deb, ketma- ket barcha koeffisientlarni topamiz:

Shunday qilib,(2) Bessel tenglamasining xususiy yechimlaridan birini quyidagicha yozish mumkin:</sub>

(5)
Dalamber alomatidan foydalanib, (5) qator butun son o`qida yaqinlashishini tekshirish oson. C0 son koeffisientni kerakli tanlab olingan (5) qator aniqlaydigan funksiyani besselning m indeksli (yoki m- tartibli) birinchi tur funksiyasideyiladi va Jm(x) bilan belgilanadi.
Jm(x) uchun uzil-kesil ifoda xosil qilishda yana bir maxsus funksiya - Eylerning gamma-funksiyasi G(x) bilan tanishishga to`g`ri keladi, u differensial tenglamalar-ga bog`liq bo`lmagan xolda kiritiladi. Chunonchi, u
(6)
xosmas integral bilan aniqlanadi, bu integral xaqiqiy x > 0 lar uchun yoki xaqiqiy qismi musbat bo`lgan barcha kompleks x lar uchun yaqinlashuvchi ekanligini tekshirish oson.

6. 
   ni bo`laklab, integrallab quyidagini xosil qilamiz:
   

bu yerda
_{(7)
kelib chiqadi. Bu gamma-funksiya kanoatlantiradigan asosiy funksional tenglamadir. So`ngra}

bo`lgani uchun (7)dan natural n uchun

ekanligi kelib chiqadi [ xususan 0! deganda G(1)=1 tushuniladi].
(7) tenglik G(x)ning qiymatini x<0 uchun xam aniqlashga imkon beradi. Xaqiqatan xam agar x<0, biroq x+1>0 bo`lsa, bunday yozish mumkin:
(8)
Shunga o`xshash, (7) yoki (8) ni bir marta tatbiq qilib, istalgan x uchun (x=0 dan, binobarin, x= - 1, - 2, ..lardan tashqari, bu nuqtalarda G(x) cheksizlikka aylanadi) Gamma-funksiyaning qiymatini xosil qilish mumkin. Jm(x) funksiya deb, (5) qatorga aytiladi, u yerda deb olingan.(7)ga ko`ra
(n+m)(n+m-1)…(m+1)G(m+1)=G(m+n+1)
bo`lgani uchun (5) qatorni bu xolda quyidagicha yozish mumkin:
(9)
Bessel tenglamasining ikkinchi xususiy yechimini aniqlash uchun m son to`g`risida ba`zi ma`lumotlar kerak bo`ladi. Agar m butun son bo`lmasa, (4) sistema a = - m da (5) o`xshash yangi qatorni beradi. Mos funksiyani xam Basselning birinchi tur funksiyasi deyiladi. U quyidagiga teng:
(10)
Jm(x) va J-m(x) funksiyaning chiziqli erkli ekanligiga ishonch xosil qilish oson. Jm(0)=0(m>0) ekanligini ko`rish yetarli: shu bilan bir paytda (10)ga ko`ra x=0 da J-m(x) cheksizlikka aylanadi. Bu yerda ikkala funksiya bir-biridan o`zgarmasga farq qilishi indeks uchun (2) Bessel tenglamasining umumiy yechimini
(11)
ko`rinishda yozish mumkin, bu yerda C1,C2 - ixtiyoriy o`zgarmaslar.
Ba`zan J-m(x) o`rniga (9) va (10) funksiyalarning chiziqli kombinasiyasi bo`lgan boshqa xususiy yechim olinadi:
(12)
bu funksiya butun bo`lmagan m ma`noga ega.Ym (x) funksiya besselning ikkinchi tur funksiyasi yoki Veber funksiyasi deyiladi. U xolda (2) tenglamaning umumiy yechimini quyidagi ko`rinishda yozish mumkin:
(13)
Butun m uchun (9) qatorni gamma-funksiyasidan,

ko`rinishda yozish mumkin, xususan

10. 
    Qator aniqlaydigan I-m(x) funksiya uchun axvol butunlay boshqacha. Avvalo, bu qatorning birinchi m ta xadi ma`noga ega emas, chunki ularning maxrajlarida gamma-funksiyaning qiymatlari argumentning butun manfiy qitmatlari va nol qiymatlari uchun xosil bo`ladi. Bu xadlarni nolga teng deb xisoblash kerak (aytib o`tganimizdek, bunday nuqtalarda gamma-funksiya cheksizlikka aylanadi).
    

Agar J-m(x) ni qolgan qatorga teng deb olsak, u xolda uni (9) qator bilan taqqoslash butun m lar uchun

tenglik o`rinli ekanligini ko`rsatadi. Shunday qilib, butun m larda Jm(x) va J-m(x) funksiyalar chiziqli bog`liq va (11) tenglik bunday xolda Bessel tenglamasining umumiy yechimini bermaydi.
(12) ifoda butun m larda aniqmas bo`lib qoladi (surat va maxraj nolga aylanadi), shuning uchun Besselning ikkinchi tur funksiyasida bevosita foydalanish xam mumkin emas. Shunday bo`lsa-da, istalgan butun m da

Mavjudligini ko`rsatish mumkin (buni Lopital qoidasi bo`yicha ko`rsatish oson, biroq bunga to`xtatib o`tirmaymiz), bu limitni Besselning butun indeks uchun ikkinchi tur funksiyasi deb ataymiz. Ana shunday aniqlangan Ym(x) funksiyada (13) formula bessel tenglamasining butun m uchun xam umumiy yechimini beradi.
Bessel funksiyalari matematika tatbiq qilinadigan deyarli barcha soxalarda xilma-xil qo`llanishga ega: tatbiqiy masalalarda uchraydigan juda ko`p sondagi tenglamalar Bessel tenglamasiga keltiriladi.Bundan tashqari, Bessel funlsiyalari uchun Besselning turli indeksli funksiyalarining o`zlarini yoki Bessel funksiyalari xosilalarini shu funksiyalarining o`zi bilan bo`g`lov turli munosabatlar juda ko`pdir.
Ana shunday munosabatlardan bir nechtasini (isbotsiz) keltiramiz. Indekslari birga farq qiladigan uchta Bessel funksiyasining bitta nuqtadagi qiymatlarini bog`-
logchi ushbu rekurrent munosabat katta axamiyatga ega:
(14)
u Jm+1(x)ni ma`lum Jm(x) va Jm-1(x) qiymatlar orqali topishga imkon beradi. Xosilani topishga imkon beradigan
(15)
formula xam xuddi shunday rol o`ynaydi. Shu bilan birga xosilalarni topish uchun yanada soddaroq ushbu formulalardan foydalanish xam mumkin:
₍₁₆₎

14. 
    _{va (15) o`xshash formulaar Besselning ikkinchi tur funksiyalari uchun xam o`rinlidir. Chunonchi}
    

(17)
Bessel funksiyalari va trigonometrik funksiyalar o`rtasida chuqur bog`lanish bor,u bu funksiyalar o`rtasida chuqur bog`lanish bor, u bu funksiyalarning o`zgarishidagi umumiylikda xam namoyon bo`ladi. J0(x) va J1(x) bessel funksiyalarining 46- va 47-rasmlarda keltirilgan grafiklari bilan tanishib chiqib bunga ishonch xosil qilish mumkin.
Agar Besselning birinchi tur funksiyasining indeksi butun son plus yarim bo`lsa, u xolda bunday funksiya elementar funksiyalar orqali, chunonchi trigonometrik funksiyalar orqali ifodalanadi. m=1/2 va m=-1/2 uchun quyidagi munosabatlar mavjud:

O`quvchi (9) va (10) qatorlardan xamda G(1/2)=√ ekanligidan foydalanib, bu munosabatlarni o`zi mustaqil keltirib chiqarishi mumkin. G(n+1/2)ning qiymatlarini natural n uchun (7) formulani, butun manfiy n uchun esa (8) formulani qo`llanib topish mumkin.
Besselning birinchi va ikkinchi tur funksiyalari bilan bir qator, shuningdek, Besselning sof mavxum argumentli Im(x) funksiyalari xam uchrab turadi, u quyidagi munosabat bilan aniqlanadi:

19. 
    dan ko`rinishicha, Im va Jm funksiyalar orasidagi bog`lanish giperbolik va trigonometrik funksiyalar orasidagi bog`lanishga o`xshaydi.
    

Ular uchun yuqorida keltirilgan munosabatlarga o`xshash rekurrent munosabatlar, o`rinli masalan,

va x.k Im(x) funksiyalar

_{differensial tenglamani qanoatlantiradi, shuning uchun bu tenglama mavxum argument uchun Bessel tenglamasi deyiladi. U xam koeffisientlari o`zgatuvchi tartibli chiziqli tenglamadir.
uchun qator (9) ni (10)ga qo`yish orqali xosil bo`ladi:}

Koeffisiyentlari o`zgaruvchi bo`lgan ikkinchi tartibli tenglamalarning biz tekshiradigan navbatdagi turi Lejandrning differensial tenglamasidir. Ushbu tenglama shunday deb ataladi:

_{Natural n lar uchun Lejandr tenglamasining yechimi oddiy ko`pxadlardan iborat bo`ladi:}

Lejandr ko`pxadlarining umumiy ifodasi Rodrig formulasi bilan beriladi:

<sub>Bu yerda juft tartibli Lejandr ko`pxadlari juft funksiyalar ekanligi, toq tartiblilari esa toq funksiyalar ekanligi osongina keltirib chiqariladi. Shu erning o`zidan Roll teoremasidan foydalanib, quyidagi muxim xossani xam chiqarish mumkin: Pn(x) ko`pxadning barcha n ta ildizi xaqiqiy va (-1, 1) intervalda joylashgan.
Xaqiqatan xam u=(x2-1)n funksiya x= 1 nuqtalarda n-1 tartibgacha (u xam qiradi) xosilalari bilan birga nolga atlanadi. Roll teoremasiga binoan(-1, 1) intervalning u` nolga aylanadigan nuqtasi mavjud. U xolda u` uchun (-1, ) va ( ,1) interval topamiz. u` ularning oxiratida nolda aylanadi, bu Roll teoremasiga ko`ra u`` ning ikkita ichki beradi.
Shunday davom ettirib, u(n-1) uchun h ta interval topamiz, bu intervallarning oxirlarida u holda teng bo`ladi,binobarin, u(n) (-1,1) ichida n ta nolga ega bo`ladi. Demak, Lejandrning Pn(x) ko`pxadi (-1,1) ichida u(n) ega bo`lgan o`sha n ta nolga ega bo`ladi.
Lejandr ko`pxadlari xam Bessel funksiyalari uchun chiqarilgan (14) munosabatga o`xshash uchxadli rekurrent munosabatni qanoatlantiradi:

P0(x)=1 deb va P0 xamda P1 dan foydalanib, (23) yordamida istalgan n uchun Lejandr polinomlarin ketma-ket xisoblash mumkin. Bunday qilinganda Pn(x) ning qiymatlari (22) Rodrig formulasiga qaraganda osonroq topiladi.
Lejandr ko`pxadlarining muxim hossasi ularning ortogonalligidir, u quyidagi tenglik bilan ifodalanadi:</sub>

Lejandr ko`pxadlari sistemasining ortogonalligi Fure trigonometrik qatorlariga o`xshash bu sistema bo`yicha Fure qatorlarini tuzishga imkor beradi.
<sub>Lejandr ko`pxadlari ko`pxadlarning (24) ta`rif bo`yicha oddiy ma`noda aniqlanishida chekli intervalda ortogonal yagona sistemadir. Biroq, bundan tash-qari qo`pincha vazn bilan ortogonal bo`lgan ko`pxadlarga duch kelamiz. va
funksiyalar.</sub>

munosabatni qanoatlantirsa, ular [a, β] kesmada ɷ(x) vazi bilan ortogonal deyiladi.
ɷ(x) vazi bilan ortogonal bo`lgan ko`pxadlarning xar bir sistemasi koeffisientlari o`zgaruvchi bo`lgan ikkinchi tartibli birorta differensial tenglamani xamda (14) va (23) ga o`xshash uchxadli rekurrent munosabatni kanoatlantiradi. Tatbiqlarda tez-tez uchrab turadigan ana shunday sistemalardan ba`zilarini keltiramiz.
Chebishev ko`pxadlari ushbu munosabat bilan aniqlanadi:

<sub>Ular [-1,1] kesmada vazi bilan ortogonal va

Rekurrent munosabatni qanoatlantiradi.</sub>

27. 
    _{yordamida, T0(x)=1 va T1(x)=x deb, Tn(x) ifodalarni (26) formulaga qaraganda xosil qilish oson. Chebishevning Tn(x) ko`pxadi qanoatlantiradigan differensial tenglama}
    

<sub>ko`rinishga ega.
Ermit ko`pxadlari:

ular vazn bilan (- ) da ortogonal, ya`ni ular uchun ushbu munosabat o`rinli:</sub>

Ermit ko`pxadlari uchun rekurrent munosabati

<sub>differensial tenglamasi esa

Lagerr ko`pxadlari:

(0, ) da ba`zan =0 deb qabul qilinadi) vazn bilan ortogonal. Ular uchun

munosabat va

differensial tenglama o`rinli.
Sanab o`tilgan ko`pxadlar sistemalari, shu jumladan, Lejandr ko`pxadlari xam, albatta, elementar funksiyalar bo`ladi. Ularning maxsus funksiyalar bilan bir qatorda turishi, ularning o`zgaruvchi koeffisientli differensial tenglamalarni qanoatlantirishi bilan tushuntiriladi. Biroq, shuni xam esdan chaqarmaslik kerakki, (21),(28),(31),(34) tenglamalarning yechimlari lementar funksiyalar(ko`pxadlar) bo`lishi uchun ularga kiruvchi n parametr natural qiymatlar qabul qilishi zarur.
Tatbiqiy masalalarda Gauss tomonidan kiritilgan va o`rganilgan gipergeometrik tenglama katta o`rin tutadi, u uchun parametrga ega:

Bu tenglamaning yechimlari gipergeometrik funksiyalar deyiladi.</sub>

35. 
    _{tenglamani ushbu gipergeometrik qator qanoatlantirishini isbotlash qiyin emas:}
    

_{Bu darajali qatorning yaqinlashish radiusini aniqlashni va bu qator (35) tenglamani qanoatlantirishini o`quvchining o`zi qatorlar nazariyasi usullaridan foydalanib, mustaqil isbot qilish mumkin.
Gipergeometrik tenglamaning uchta parametri orasidagi turli munosabatlarning ko`pdan-ko`p xollari turli xosmas tenglama va funksiyalarga (ko`pchiligi elementar bo`lgan) olib keladi. Masalan, (n - natural) da va bo`lganda (36) qator (1-x)n funksiyaga bo`lganda
ga aylanadi x.q.
Elementar bo`lmagan hosmas gipergeometrik funksiyalardan ikkinchi tartibli}

differensial tenglamani qanoatlantiradigan Uitterker funksiyasi ni ko`rsatish mumkin.
Elektromagnit to`lqinlar tarqalishi masalalarida ko`pincha Mat`e tenglamasi uchrab turadi, uni quyidagicha yozish mumkin:

_{bu terda a va q－ o`zgarmaslar. (38) tenglamaning ma`lum tartibda tanlab olingan xususiy yechimlari Mat`e funksiyalari deyiladi.
Biz bu yerda yechimlari tatbiqiy masalalarda katta rol o`ynaydigan o`zgaruvchi koeffisiyentli ikkinchi tartibli bir nechta chiziqli differensial tenglamani keltirdik. Tabiiyki, maxsus funksiyalarning biron-bir to`liq nazariyasi texnika oliy o`quv yurtlarining matematikadan umumiy kursiga, binobarin, bizning kitobga xam kirishi mumkin emas. Bizning maqsadimiz chiziqli differensial tenglamalarning maxsus funksiyalar nazariyasidagi axamiyatini namoyish qilishdangina iborat edi.}

Balkaning bo’ylama egilishini tatqiq qilish

Vertikal turgan va pastki uchi maxkamlangan bo`lib, yuqori uchi erkin bo`lgan l uzunlikdagi prizmatik sterjenning o`z og`irligi ostida egilishini tekshiramiz. Egilgan balka o`qining differensial tenglamasini 12-§ da chiqargan edik. [(24) formulaga qarang]. U quyidagi ko`rinishda edi:


bu yerda M(z) - ko`ndalang kesimning inersiya momenti bo`lib, balka joylashgan sharoitga bog`lik.
Mazkur hol uchun, 45 - rasmdan ko`rinib turganidek, M kattalik ushbu integral bilan aniqlanadi:
<sub>,
Bu yerda q- sterjen uzunlik birligining og`irligi. Integralni balka egilgan o`qining differensial tenglamasiga qo`yib va xosil bo`lgan tenglikning ikkala tomonini z bo`yicha differensiallab, ushbu tenglamani xosil qilamiz:

Bu yerda erkli o`zgaruvchini

deb almashtirish qulay.
u ning x bo`yicha xosilalarini shtrixlar bilan belgilab, quyidagilarni xosil qilamiz:</sub>



Xosilalarning bu qiymatlarini differensial tenglamalaga qo`yib, quyidagi uchinchi tartibli tenglamaga kelamiz:

bu tenglamaning tartibini u`=y deb bir birlik pasaytiramiz,natijada uzil-kesil quyidagi tenglamani xosil qilamiz:
(1)
Bu tenglama Besselning m indeksli tenglamasining hususiy xoli xisoblanadi, u quyidagi ko`rinishga ega:
(2)

2. 
   Tenglamani qanoatlantiradigan funksialar Besselning m- indeksli funlsiyalari yoki Besselning m- tartibli funksialari deyiladi. (1) tenglama m=1/3 dagi Bessel tenglamasi ekanligini ko`rish oson.