Уравнения Максвелла

СГС
СИ

Используя преобразование Фурье, по гармоническим колебаниям можно разложить поля с произвольной временной зависимостью.


Переход к спектральным компонентам позволяет сосредоточиться на координатной зависимости полей. Уравнения Максвелла для спектральных компонент в однородных средах при этом принимают вид:

СГС	СИ

Диэлектрическая и магнитная проницаемости среды в спектральном представлении связаны с восприимчивостями материальных уравнений в интегральном представлении Фурье-преобразованием:

СГС	СИ

Уравнения без свободных зарядов и токов
В отсутствие свободных зарядов и токов  ,  , в изотропных и однородных средах без дисперсии уравнения Максвелла принимают следующий вид:

СГС	СИ

Решениями этих уравнений является напряжённость электрического поля  и магнитная индукция  . Диэлектрическая  и магнитная  проницаемости определяются свойствами среды. Для вакуума  ,  .
Волновое уравнение
Уравнения Максвелла являются дифференциальными уравнениями первого порядка по координатам и времени. Однако во второй паре в каждое уравнение входят обе неизвестные векторные функции  и  . При отсутствии зарядов и токов можно перейти к уравнениям второго порядка, каждое из которых зависит только от одного, электрического или магнитного поля:

Такие уравнения называются волновыми.
В лоренцевской калибровке в отсутствие зарядов и токов волновому уравнению удовлетворяют также скалярный и векторный потенциалы:

Величина  , входящая в волновые уравнения определяет скорость распространения электромагнитных полей в среде. Её максимальное значение  достигается в вакууме, когда  и  .
Уравнение Гельмгольца
Пусть  — круговая частота гармонического сигнала и зависимость от времени выбрана в виде  . При отсутствии электрических зарядов в среде, уравнение Гельмгольца принимает вид:

где  .
Некоторые точные решения
Поле движущегося точечного заряда
Если заряд движется с постоянной скоростью  , то вокруг него возникает магнитное поле  , а напряжённость электрического перестаёт быть сферически симметричной ^[67]: