Уравнения Максвелла

Четырёхмерные векторы
При ковариантной записи уравнений электродинамики производится переход от трёхмерных векторов и скаляров к четырёхмерным векторам (4-векторы). Независимо от системы единиц, четырёхмерные координаты (4-вектор координат, в компоненты которого входят время и трехмерные пространственные координаты), производная по этим координатам (4-производная) и плотность тока определяются следующим образом^[52]:



Индекс 4-вектора принимает значения  . В компонентной записи вектора сначала идёт нулевая компонента, затем — пространственные. Например, время равно  , а плотность заряда  . В силу этих определений, закон сохранения заряда в ковариантной форме принимает следующий вид:

По повторяющемуся индексу предполагается суммирование от 0 до 3 (правило Эйнштейна).
Пример [показать]
Введём 4-вектор потенциала, имеющий в системах СГС и СИ следующие компоненты:

СГС	СИ

При ковариантной записи играет роль положение индекса у 4-вектора. Если индекс находится внизу, то такой вектор называется ковариантным вектором (или ковектором), и его пространственные компоненты имеют обратный знак по сравнению с компонентами 4-вектора. Поднятие и опускание индексов проводится при помощи метрического тензора  , который в четырёхмерном пространстве Минковского имеет диагональный вид с сигнатурой:  .
При помощи такого определения 4-вектора потенциала, калибровочное условие Лоренца в ковариантной форме можно записать следующим образом:

Если это условие выполняется, то уравнения Максвелла для потенциалов в вакууме при наличии зарядов и токов принимают вид: