Unitar simmetriya guruhi SU(3)
Keling, murakkabroq A guruhi va - zamonaviy elementar zarrachalar fizikasida mutlaqo ajoyib rol o'ynagan va o'ynashda davom etayotgan SU(3) 3 o'lchovli unitar unimodulyar matritsalar guruhi bilan tanishamiz. Bu guruh allaqachon 8 parametrli. (Haqiqatan ham, ixtiyoriy 3 × 3 kompleks matritsa 18 ta real parametrga bog'liq, unitarlik sharti ularning sonini ikki baravar kamaytiradi va unimodulyarlik sharti yana bitta parametrni olib tashlaydi.)
8 parametrli SU(3) guruhiga o'tish to'g'ridan-to'g'ri amalga oshirilishi mumkin. 3 parametrli SU (2) guruhidan 2 o‘lchovli unitar unimodulyar U matritsalarini 3 o‘lchovliga almashtirish va tegishli algebraga – Pauli matritsalari s k , k = 1, 2, 3 ni Gell bilan almashtirish orqali. - Mann matritsalari la , a = 1,..., 8:
kommutatsiya munosabatlarini qanoatlantiradi
,
Bu erda f 123 = 1, f 147 = 1/2, f 156 = -1/2, f 246 = 1/2, f 257 = 1/2, f 346 = 1/2, f 367 = -1/2, f 458 = , f 678 =
(Shunga o'xshab, sabr-toqat bilan chekli n bo'lgan har qanday unitar SU(n) guruhi uchun n o'lchamli algebra tasvirini qurish mumkin. ) Bu matritsalar SU(3) algebrasining 3 o'lchovli tasvirini asosiy spinorlar bilan amalga oshiradi.
q 1 = , q 2 = , q 3 = .
|
(1,53)
|
8 o'lchovli tasvir 8 × 8 matritsalar tomonidan asosiy spinorlar bilan qoplangan chiziqli fazoda berilgan.
Ammo SU(2) da har qanday 3 vektorni 2×2 shpursiz matritsa sifatida yozish mumkin bo‘lganidek, SU(3) dagi har qanday 8 vektorni X = (x 1 ,..., x 8 ) 3x3 sifatida yozish mumkin. matritsalar :
Yuqori chap burchakda biz darhol SU (2) dan oldingi ifodani (
1.32 ) ko'ramiz. Ikki spinorning to'g'ridan-to'g'ri ko'paytmasi q a va q b SU(2) holatidagi kabi (lekin hozir a, b = 1, 2, 3) indekslarda simmetriyalash va antisimmetriyalash yo'li bilan kengaytirilishi mumkin :
2-darajali nosimmetrik tensor o'lchovga ega va n = 3 uchun , uni matritsa tasviridan ko'rish mumkin:
va bu yerda T { ik } =T { ki } T ik (i k, i, k = 1, 2, 3) ekanligi hisobga olinadi. 2-darajali antisimmetrik tensor n = 3 uchun ham o'lchamga ega , bu matritsa tasviridan ham ko'rinadi:
va T [ ik ] = -T [ ki ] t ik (i k, i, k = 1, 2, 3) va T [11] = T [22] =T [33] = 0 ekanligini hisobga oldik.
O'lchov orqali parchalanish sifatida yozish mumkin
n × n = n(n+1)/2| SS + n(n-1)/2| AA ,
yoki n = 3 uchun . Bazis vektorlari uchta qator (1 0 0), (0 1 0) va (0 0 1) koʻrinishida ifodalanishi mumkin boʻlgan spinor q a va uning konjugat spinor q b koʻpaytmasini misol tariqasida koʻrib chiqaylik . Va bu erda NP yig'indisiga kengayish teshikni ayirish orqali erishiladi ( Gell -Mann matritsalari teshiksiz ekanligini eslang )
bu erda n = 3 uchun 8 o'lchamga ega bo'lgan SU(3) guruhining qo'shimcha (ba'zan "vektor" deb ataladi) tasviriga mos keladigan d V =(n 2 - 1) o'lchamdagi teshiksiz tensor ; I identifikator (yoki skaler) IMga mos keladigan identifikatsiya matritsasi. O'lchamlar nuqtai nazaridan, bu n = 3 sifatida yoki uchun yozilishi mumkin . Ayniqsa,
elektr kuchsiz o'zaro ta'sirlarga glyuon tuzatishlarini hisoblashda qo'llaniladigan ancha murakkab kengayishning yana bir misolini keltiramiz . Bu oqimlarning simmetriyalangan mahsulotining NP yig'indisiga kengayishi :
Bu erda N SS - 4-darajali teshiksiz tensor, ikkita yuqori va ikkita pastki indeksda simmetrik, o'lchami N SS = [n 2 (n + 1) 2 /4 - n 2 ]:
N AA - 4-darajali tensor, ikkita yuqori va ikkita pastki indeksda antisimmetrik, o'lchami N AA = [n 2 (n - 1) 2 /4 - n 2 ] (n > 4, chunki n = 3 uchun bu NP. parchalanishda allaqachon mavjud bo'lgan oktetga qisqartiriladi)
SA = (n 2 - 1) o'lchamining qo'shma ko'rinishining 2-darajali ikkita tensorlari , simmetrik :
va antisimmetrik
va skalyar vakillik
mahsulotining kengayishiga kiritilgan 4-darajali va o'lchov = [n 2 (n 2 - 1)/4 - n 2 + 1] tensorlari tomonidan tasvirlangan aralash simmetriyaning NPlari shaklga ega.
[SU(3)]
|
n = 3 uchun
|
|
[SU(4)]
|
n = 4 uchun
|
|
[SU(5)]
|
n = 5 uchun
|
|
[SU(6)]
|
n = 6 uchun
|
|
Bu bilan hozircha formalizm taqdimoti yakunlanadi va zarralarni SU(3) guruhi vakillari va ularning ba'zi oqibatlari bo'yicha tasniflash muammosiga o'tadi.
Do'stlaringiz bilan baham: |