Unitar unimodulli guruh su(2)

Unitar simmetriya guruhi SU(3)
Keling, murakkabroq A guruhi va - zamonaviy elementar zarrachalar fizikasida mutlaqo ajoyib rol o'ynagan va o'ynashda davom etayotgan SU(3) 3 o'lchovli unitar unimodulyar matritsalar guruhi bilan tanishamiz. Bu guruh allaqachon 8 parametrli. (Haqiqatan ham, ixtiyoriy 3 × 3 kompleks matritsa 18 ta real parametrga bog'liq, unitarlik sharti ularning sonini ikki baravar kamaytiradi va unimodulyarlik sharti yana bitta parametrni olib tashlaydi.)
8 parametrli SU(3) guruhiga o'tish to'g'ridan-to'g'ri amalga oshirilishi mumkin. 3 parametrli SU (2) guruhidan 2 o‘lchovli unitar unimodulyar U matritsalarini 3 o‘lchovliga almashtirish va tegishli algebraga – Pauli matritsalari s _k , k = 1, 2, 3 ni Gell bilan almashtirish orqali. - Mann matritsalari la , _a = 1,..., 8:

(1,52)

kommutatsiya munosabatlarini qanoatlantiradi
,
Bu erda f ₁₂₃ = 1, f ₁₄₇ = 1/2, f ₁₅₆ = -1/2, f ₂₄₆ = 1/2, f ₂₅₇ = 1/2, f ₃₄₆ = 1/2, f ₃₆₇ = -1/2, f ₄₅₈ = , f ₆₇₈ =
(Shunga o'xshab, sabr-toqat bilan chekli n bo'lgan har qanday unitar SU(n) guruhi uchun n o'lchamli algebra tasvirini qurish mumkin. ) Bu matritsalar SU(3) algebrasining 3 o'lchovli tasvirini asosiy spinorlar bilan amalga oshiradi.

q ^1= , q ^2= , q ^3= .

(1,53)

8 o'lchovli tasvir 8 × 8 matritsalar tomonidan asosiy spinorlar bilan qoplangan chiziqli fazoda berilgan.

(1,54)

Ammo SU(2) da har qanday 3 vektorni 2×2 shpursiz matritsa sifatida yozish mumkin bo‘lganidek, SU(3) dagi har qanday 8 vektorni X = (x ₁ ,..., x ₈ ) 3x3 sifatida yozish mumkin. matritsalar :

.

(1,55)

Yuqori chap burchakda biz darhol SU (2) dan oldingi ifodani (
1.32 ) ko'ramiz. Ikki spinorning to'g'ridan-to'g'ri ko'paytmasi q ^a va q ^b SU(2) holatidagi kabi (lekin hozir a, b = 1, 2, 3) indekslarda simmetriyalash va antisimmetriyalash yo'li bilan kengaytirilishi mumkin :

(1,56)

2-darajali nosimmetrik tensor o'lchovga ega va n = 3 uchun , uni matritsa tasviridan ko'rish mumkin:

(1,57)

va bu yerda T ^{{ ik }} =T ^{{ ki }} T ^ik (i k, i, k = 1, 2, 3) ekanligi hisobga olinadi. 2-darajali antisimmetrik tensor n = 3 uchun ham o'lchamga ega , bu matritsa tasviridan ham ko'rinadi:

(1,58)

va T ^{[ ik ]} = -T ^{[ ki ]} t ^ik (i k, i, k = 1, 2, 3) va T ^[11] = T ^[22] =T ^[33] = 0 ekanligini hisobga oldik.
O'lchov orqali parchalanish sifatida yozish mumkin
n × n = n(n+1)/2| _SS + n(n-1)/2| _AA ,
yoki n = 3 uchun . Bazis vektorlari uchta qator (1 0 0), (0 1 0) va (0 0 1) koʻrinishida ifodalanishi mumkin boʻlgan spinor q ^a va uning konjugat spinor q _b koʻpaytmasini misol tariqasida koʻrib chiqaylik . Va bu erda NP yig'indisiga kengayish teshikni ayirish orqali erishiladi ( Gell -Mann matritsalari teshiksiz ekanligini eslang )

(1,59)

bu erda n = 3 uchun 8 o'lchamga ega bo'lgan SU(3) guruhining qo'shimcha (ba'zan "vektor" deb ataladi) tasviriga mos keladigan d _V =(n ^{2 - 1)} o'lchamdagi teshiksiz tensor ; I identifikator (yoki skaler) IMga mos keladigan identifikatsiya matritsasi. O'lchamlar nuqtai nazaridan, bu n = 3 sifatida yoki uchun yozilishi mumkin . Ayniqsa,
elektr kuchsiz o'zaro ta'sirlarga glyuon tuzatishlarini hisoblashda qo'llaniladigan ancha murakkab kengayishning yana bir misolini keltiramiz . Bu oqimlarning simmetriyalangan mahsulotining NP yig'indisiga kengayishi :

(1,60)

Bu erda N _SS - 4-darajali teshiksiz tensor, ikkita yuqori va ikkita pastki indeksda simmetrik, o'lchami N _SS = [n ² (n + 1) ² /4 - n ² ]:

(1,61)

N _AA - 4-darajali tensor, ikkita yuqori va ikkita pastki indeksda antisimmetrik, o'lchami N AA ₌ [n ² (n - 1) ² /4 - n ² ] (n > 4, chunki n = 3 uchun bu NP. parchalanishda allaqachon mavjud bo'lgan oktetga qisqartiriladi)

(1,62)

_SA = (n ² - 1) o'lchamining qo'shma ko'rinishining 2-darajali ikkita tensorlari , simmetrik :

(1,63)

va antisimmetrik

(1,64)

va skalyar vakillik

(1,65)

mahsulotining kengayishiga kiritilgan 4-darajali va o'lchov = [n ² (n ² - 1)/4 - n ^{2 + 1]} tensorlari tomonidan tasvirlangan aralash simmetriyaning NPlari shaklga ega.

(1,66)

(1,67)

[SU(3)]	n = 3 uchun
[SU(4)]	n = 4 uchun
[SU(5)]	n = 5 uchun
[SU(6)]	n = 6 uchun

Bu bilan hozircha formalizm taqdimoti yakunlanadi va zarralarni SU(3) guruhi vakillari va ularning ba'zi oqibatlari bo'yicha tasniflash muammosiga o'tadi.