Unitar unimodulli guruh su(2)

http://nuclphys.sinp.msu.ru/thgr/index.html#%D1%81

Unitar unimodulli guruh SU(2) Shunday qilib, minimal notrivial (1 dan tashqari) tasvirning o'lchami 3 ga teng bo'lgan 3 o'lchovli aylanishlar guruhi bilan tanishib, biz o'lchamning tasviri mavjud bo'lgan murakkabroq guruhni ko'rib chiqamiz. 2. Buning uchun biz 2 x 2 unitar unimodulyar matritsalar to'plamini aniqlaymiz U, ya'ni U ^+U = 1, det U = 1. Bunday U matritsani quyidagicha ifodalash mumkin. U = , (1,30) k , k = 1, 2, 3 - Ermit matritsalari, , ularni Pauli matritsalari shaklida tanlaymiz. .. _ (1.31) a k , k = 1, 2, 3 esa ixtiyoriy haqiqiy sonlardir. Ushbu matritsalar matritsalarni ko'paytirishning odatiy qonuniga ega bo'lgan guruhni tashkil qiladi va ikkita bazis vektorlari bilan qoplangan 2-o'lchovning qo'shma yoki o'ziga xos tasvirini amalga oshiradi . Shunisi e'tiborga loyiqki, Pauli matritsalari O (3) aylanish guruhining generatorlari kabi bir xil kommutatsiya munosabatlariga bo'ysunadi. Keling, bu matritsalarni odatiy 3 o'lchovli vektor bilan bog'lashga harakat qilaylik . Buning uchun har bir vektorga qiymat belgilaymiz

, a, b = 1,2. (1,32) Aniqlovchi  bular. vektor uzunligi kvadratini aniqlaydi. 2 o'lchovli fazoda U , U ^+U = 1, detU = 1 unitar unimodulyar matritsalar to'plamini olib, aniqlaymiz. X' = U ^+XU, Bu erda U o'zgarishlar vektorning o'zgarmas uzunligini qoldiradi degan xulosaga kelamiz va shuning uchun 3 o'lchovli fazodagi aylanishlarga mos keladi, + U bir xil aylanishga mos keladi. Tegishli SU(2) algebrasi kommutatsion munosabatlarga ega s k , k = 1, 2, 3 germit matritsalari bilan berilgan. [ s i ,s j ] = 2ie ijk s k , va U = . Xuddi O (3) aylanish guruhida bo'lgani kabi, eng kichik o'lchamli tasvir 3 uchta mustaqil asos vektorlari, masalan, x, y, z, SU (2) 2 da - o'lchovli tasvir ikkita mustaqil spinor tomonidan berilgan, sifatida tanlanishi mumkin (1,33) Ikki spinorning to'g'ridan-to'g'ri mahsuloti va mahsulotni simmetriyalash va antisimmetriyalash orqali ikkita kamaytirilmaydigan ko'rinishning (IR) to'g'ridan-to'g'ri yig'indisiga ajralishi mumkin :

(1,34) 2-darajali simmetrik tensor n o'lchamlarga ega  va n=2 uchun , matritsa tasviridan ko'rinib turibdiki: (1,35) ^{21}= T ^{12}ekanligini hisobga oldik . 2-darajali antisimmetrik tensor n = 2 uchun ham o'lchamga ega, buni uning matritsa tasviridan ko'rish mumkin. (1,36) T ^[21]= T ^[12], T ^[11]= T ^[22] = 0ekanligini hisobga oldik . Shunga muvofiq 2-darajali mutlaq antisimmetrik tenzor ( 12 = - 21 = 1) bo'ladi. SU(2) guruhining singleti sifatida ham o'zgartiriladi va agar kerak bo'lsa , vakillik hajmini o'zgartirmasdan SU(2) indekslarini kamaytirish uchun foydalanishimiz mumkin . Bu tensor SU(2) da indekslarni “ko‘tarish” va “pasaytirish” uchun ishlatilishi mumkin. (1,37) beri Det U = 1. ( 21 uchun ham xuddi shunday ).