Unit 3: analysis of automated flow line & line balancing general Terminology & Analysis

 
 


 
The term 
h (b)
is the proportion of the downtime D'
1 
(when the stage 1 is down) that stage 2 
could be up & operating within the limits of storage buffer capacity 
b
. The equations cover 
several different downtime distributions based on the assumption that both stages are never 
down at the same time. Four of these equations are presented below: 
Assumptions & definitions:
Assume that the two stages have equal downtime distributions 
(
T
d1
 = T
d2
 = T
d
) &
equal cycle times (
T
c1
 = T
c2
 = T
c
). 
Let 
F
1
= downtime frequency for stage 1, & 
F
2
= downtime frequency for stage 2. Define 
r
to be the ration of breakdown frequencies as follows: 
r = F
1
------------------- 16 
F
2
 
Equations for 
h(b)
 :
With these definitions & assumptions, we can express the relationships for 
h(b)
for two 
theoretical downtime distributions : 
www.getmyuni.com
9

---

Constant downtime:
Each downtime occurrence is assumed to be of constant duration T
d. 
this is a case of no 
downtime variation. Given buffer capacity b, define B & L as follows: 
b = B T
d
+ L
--------------- 17 
T
c
 
 
Where B is the largest integer satisfying the relation : 
b T
c
 
≥
 B, 
 
 
 
 
T
d
 
& L represents the leftover units, the amount by which b exceeds 
B T
d .
T
c 
There are two cases: 
Case 1: 
r=1.0.h(b) 
= B
 + LT
c
1
--------
18

B + 1 T
d
 (B+1)(B+2)
Case 2: 
r
≠
1.0.h(b) 
=r1 - r
B
+L T
c
r
B
(1 - r)
2
 -----
19
 
 

T
d 
 
(1 – r
B+1
) (1 – r
B+2
)
 
 
Geometric downtime distribution:
In this downtime distribution, the probability that repairs are completed during cycle 
duration 
T
c
, is independent of the time since repairs began. This a case of maximum 
downtime variation. There are two cases: 
Case 1: 
r = 1.0.h(b)
 
 
B T
c

=
T
d

 
 
------------------- 
20
 
 
 2 + (b – 1) T
c

T
d
 
Case 2: 
r 
≠
 1.0. 
 
 
 
1 + r - T
c
 
Define 
K = T
d
--------------- 
21
 
 
1 + r – r T
c
 
 
 
 
T
d 
Then 
h(b) = r (1 - K
b
) --------------
22
 

 
 
 
 
1 - 
rK
b
 
 
Finally, 
E
2
corrects for the assumption in the calculation of
h (b)
that both stages are 
never down at the same time. This assumption is unrealistic. What is more realistic is that 
when stage 1 is down but stage 2 could be producing because of parts stored in the buffer, 
there will be times when stage 2 itself breaks down. Therefore 
E
2
provides an estimate of 
the proportion of stage 2 uptime when it could be otherwise be operating even with stage 1 
being down. 
E
2
is calculated as: 
E
2 
=
T
c
 

--------------- 
23
T
c
 + F
2
T
d 
www.getmyuni.com
10

---

Two-Stage Automated Production Line: 
 
A 20-station transfer line is divided into two stages of 10 stations each. The ideal cycle time 
of each stage is 
T
c
= 1.2 min. All of the stations in the line have the same probability of 
stopping, p = 0.005. We assume that the downtime is constant when a breakdown occurs, 
T
d
= 8.0 min. Using the upper-bound approach, compute the line efficiency for the following 
buffer capacities: (a) 
b
= 0, (b) 
b
= 
∞
, (c) 
b
= 10, (d) 
b
= 100 
Solution:
F
= 
np
= 20(0.005) = 0.10 
E
0
= 1.2
= 0.60
 
1.2 + 0.1(8)
 
(a)
For a two stage line with 20 stations (each stage = 10 stations) & 
b
= 
∞
, we first 
compute 
F
: 
F
1
 = F
2
= 10(0.005) = 0.05 
E
∞
 = E
1
 = E
2
 =
1.2 
= 0.75
1.2 + 0.05(8)
(b)
For a two stage line with 
b
= 10, we must determine each of the items in equation 13. 
We have 
E
0
from part (a). 
E
0
= 0.60. And we have 
E
2
from part (b). 
E
2
= 0.75 
D'
1
= 0.05 (8)
= 0.40 = 0.20 
1.2 + (0.05 + 0.05) (8) 2.0 
Evaluation of 
h(b)
is from equation 18 for a constant repair distribution. In equation 17, the 
ratio 
T
d
= 8.0 = 6.667. 
T
c
1.2 
For b = 10, B = 1 & L = 3.333. 
Thus, 
h(b)
= 
h
(10)
= 1 + 3.333 (1.2) 1
1 + 1 (8.0) (1 + 1)(1 + 2)
= 0.50 + 0.8333 = 0.5833 
We can now use equation 13: 
E
10
= 0.600 + 0.20 (0.5833) (0.75)
= 0.600 + 0.0875 = 0.6875 
www.getmyuni.com
11

---

(c)
For 
b
= 100, the only parameter in equation 13 that is different from part (c) is 
h(b)
. 
for 
b
= 100, B = 15 & L = 0 in equation 18. Thus, we have: 
h(b )
= h(100) = 15
15 + 1
= 0.9375
Using this value, 
E
100
= 0.600 + 0.20 (0.9375) (0.75)
= 0.600 + 0.1406 = 0.7406 
The value of
 h(b)
not only serves its role in equation 13 but also provides information on 
how much improvement in efficiency we get from any given value of 
b
. note in example 15 
that the difference between 
E
∞
& 
E
0
= 0.75 – 0.60 = 0.15.
For 
b 
= 10, 
h(b)
= 
h
(10) = 0.58333, which means we get 58.33% of the maximum possible 
improvement in line efficiency using a buffer capacity of
10 {
E
10
= 0.6875 = 0.60 + 0.5833)(0.75 – 0.60)}. 
For 
b 
= 100, 
h(b)
= 
h
(100
)
= 0.9375, which means we get 93.75% of the maximum 
improvement with 
b 
= 100 {
E
100
= 0.7406 = 0.60 + 0.9375 (0.75 – 0.60)} 
We are not only interested in the line efficiencies of a two stage production line. We 
also want to know the corresponding production rates. These can be evaluated based on 
knowledge of the ideal cycle time 
T
c
& the definition of line efficiency. According to 
equation 5, E = 
T
c 
/ T
p
. Since 
R
p
= the reciprocal of 
T
p
, then 
E = T
c
R
p
. Rearranging this we 
have: 
R
p
 = E ------------------- 
24
 
 
 
 
T
c