Umumlashgan funksiyalar va ularning tatbiqlari fanidan

Ta’rif. Lokal integrallanuvchi funksiya yordamida quriladigan umumlashgan funksiya regulyar umumlashgan funksiya (yoki regulyar funksiya) deyiladi.
Ta’rif. Regulyar bo’lmagan umumlashgan funksiyaga singulyar umumlashgan funksiya deyiladi.
Misol. Ixtiyoriy funksiyalarda tenglik bilan aniqlangan funksionalni qaraymiz. Bu funksional chiziqli va uzluksizdir. Demak, u umumlashgan funksiyani aniqlaydi. umumlashgan funksiya singulyardir. Uni (3) ko’rinishda hech bir lokal integrallanuvchi funksiya yordamida ifodalab bo’lmasligini ko’rsatamiz. Faraz qilaylik, bunday funksiya mavjud bo’lsin. U holda, ixtiyoriy uchun

tenglik o’rinli, ya’ni

deb, ushbu

ifodaga ega bo’lamiz. lokal integrallanuvchi ekanligi uchun
.
Bu tenglikdan , ni hisobga olib, quyidagilarga ega bo’lamiz:
12


.
Bu yerda da limitga o’tsak, ko’rinishdagi ziddiyatga ega bo’lamiz. Demak, funksiyani (3) ko’rinishida ifodalab bo’lmas ekan. funksiya "shapkacha" funksiyasining da umumlashgan funksiyalar fazosidagi limiti ekanligini isbotlash qiyin emas. Buning uchun, ixtiyoriy
uchun

tenglikning bajarilishini ko’rsatish kifoya. Haqiqatan ham, funksiyaning uzluksizligidan, ixtiyoriy soni uchun shunday soni mavjudki, barcha lar uchun tengsizlik o’rinli. funksiyaning xossasidan foydalanib,

ifodaga ega bo’lamiz. Bu esa yuqoridagi tenglikni isbotlaydi. Formal kelishuvga
asosan funksiya uchun

yozuv ishlatiladi. Bunga asosan, ixtiyoriy uchun:
(1.4)