Umumlashgan funksiyalar va ularning tatbiqlari fanidan

2.2§ Volterraning birinchi tur integral tenglamasini umumlashgan funksiyalar sinfida yechish.
Volterraning birinchi tur integral tenglamasini yadrosi bo’lganda qaraylik, yani
(2.5)
funksyalarni nol qiymatda davom ettiramiz bunda . Bunda (2.5) tenglama quyidagi tenglamalarga ekvivalent bo’ladi:
(2.5.1)
bu yerda (2.5.2)
bulardan (2.5) tenglamaning yechimi quyidagi ko’rinishda bo’ladi:
(2.6)
Shuningdek bo’lganda
(2.6.1)
bo’lgan holda umumiy yechim ko’rinishi
(2.5.1)
Ko’rish mumkinki quyidagi integral tenglama
(2.7)
bo’ladi, bunda -berilgan funksiya. Bu tenglamada yadro funksiya sifatida
17
olinadi.
Demak tenglamada o’tish qoidasini
(2.7.1)
Agar Dirakning funksiyasidan va Laplas almashtirishdan foydalansak, tenglamaning o’ng tomonini quyidagicha tasvirlash mumkin

bunda

Shunday qilib (2.7) tenglamaning yechimi

Jumladan, bo’lganda

Endi
(2.8)
integral tenglamani quyidacha,
(2.8.1)
ko’rinishda yozishimiz mumkin.
Bundan (2.8) tenglamaning umumlashgan yechim formulasi
(2.8.2)
bu erda differensiallash umumlashgan funktsiyalar nazariyasi ma'nosida amalga
18
oshiriladi.
Demak, agar bo’lsa ko’rinishda yozish mumkin.
Bizga (2.9)
ko’rinishdagi integral tenglama berilgan bo’lsa, mos ravishda ga ega bo’lamiz.
Bunda ko’rsatish mumki

Yuqoridagilardan (2.9) integral tenglamaning yechimini topamiz

Shuningdek, bo’lsa

hosil bo’ladi.