Umumiy astronomiya

§ 3.6. Keplerning umumlashgan 3-qonuni

Biror  burchak tezlik bilan harakatlanayotgan Quyoshdan r masofada joylashgan sayyoraning tezlanishi quyidagicha aniqlanadi:

. (3.5)

Ikkita jism bir-birining atrofida harakatlanayotgan bo‘lsin. M massali markaziy jism (Quyosh) atrofida aylanayotgan m massali jismning (sayyora) nisbiy tezlanishi

(3.6)

bo‘lib, va tezlanishlar, aslida bir tezlanishning ikki xil ifodasi, binobarin . Shuning uchun yuqoridagi ikkita ifodani tenglab

(3.7)

yozish mumkin.

Bundan ma’lum kattaliklarni tenglikning bir tomonda qoldirsak:

(3.8)

Bunda biror jism ellips bo‘yicha harakatlanayapti deb qaralsa, ni ellipsning katta yarim o‘qi bilan almashtirish zarur bo‘ladi, ya’ni

(3.9)

Buni va jismlar atrofida, va katta yarim o‘qli ellipslar bo‘yicha harakatlanuvchi va massali jismlar uchun yozilsa:

; (3.10)

bo‘ladi, bu erda va ularning aylanish davrini xarakterlaydi. Oxirgi ifodadagi tenglamalarning o‘ng tomonlari tengligidan chap tomonlarini ham tenglab yoza olamiz:

yoki

. (3.11)

Topilgan ushbu ifoda Kepler uchinchi qonunining umulashgan ko‘rinishini ifodalaydi. U Nyuton - Kepler formulasi ham deyiladi. Xususiy holda va jismlarni Quyosh atrofida aylanuvchi sayyoralar deb qaralsa, - Quyosh massasini ifodalab, oxirgi tenglikning ko‘rinishi quyidagicha bo‘ladi:

(3.12)

Agar ushbu ifodada va lar Quyosh massasi oldida juda kichikligidan, tashlab yuborilsa ( ) u Kepler tomonidan aniqlangan

(3.13)

formulaga keladi.

Nyuton-Kepler formulasi qator masalalarni yechishda qo`llaniladi. Masalan, osmon jismlarining massalarini aniqlashda foydalaniladi:

,

T₁ va T₂ - Quyosh atrofida aylanuvchi ixtiyoriy ikki sayyoraning siderik davrlari, M_„ - Quyosh massasini, m₁ va m₂ - sayyoralar massalari, a₁ va a₂ lar esa ular orbitalari katta yarim o‘qlari.

Massani aniqlash uchun topilishi mo‘ljallangan sayyoraning yo‘ldoshi bilan Yer yo‘ldoshining harakati (davrlari va orbitalarining katta yarim o‘qlari) solishtiriladi, ya’ni

bunda T₁ va T_s – sayyoraning va Yer yo‘ldoshining aylanish davrlarini, m₁ va m_c - ular yo‘ldoshlari massalarini, a₁ va a_s esa, mos ravishda, orbitalari katta yarim o‘qlarini ifodalaydi.

Ko‘p hollarda sayyora massasiga nisbatan yo‘ldoshining massasi juda kichik bo‘lganidan m₁<s<< deb olish mumkin, u holda sayyora massasi

(3.14)

formuladan topiladi.