Учебное пособие "Методика преподавания математики"

Методические особенности изучения арифметической и геометрической прогрессий

Наиболее важными из числовых последовательностей являются арифметическая и геометрическая прогрессии. Их понятие вводим конкретно-индуктивным методом. Данная тема в методическом отношении трудностей не вызывает, поэтому подробно останавливаться на ней не будем. (Изложите коротко содержание темы по школьному учебнику.)
Обратим внимание лишь на то, как дать определение прогрессий на формализованном языке: числовая последовательность (а_n) называется арифметической прогрессией, если d, что для  n а_{n+1 =} а_n + d. Здесь большую роль играет порядок слов, поэтому встает вопрос: можно ли переставить местами обороты "если d" и "для  n", то есть сказать: ": для n d, такое, что:"? Нельзя, а почему? Ответ обоснуйте. Аналогично можно сказать о геометрической прогрессии.
Перед тем, как дать определение на формализованном языке, необходимо отработать способы доказательства того, что данная последовательность является прогрессией (по определению прогрессии, по характеристическому свойству) и подводим к определению прогрессий на формализованном языке. Так как доказательство необходимо провести в общем виде, то учащиеся почувствуют ценность последнего определения.
С этой целью можно рассмотреть примеры типа: проверьте, являются ли прогрессиями данные последовательности:
(а_n): 1; 3; 5; ...; 2n-1; ...;
(в_n): 2; 5; 8; ...;3n-1; ...;
(с_n): 5; 0; -5; -10; ...; -5n+10; ... ?

3. 
   Понятие "предел последовательности"
   

Определение. Число а называется пределом последовательности (y_n), если для любого ε > 0 существует N - натуральное, что при всех n > N выполняется неравенство |y_n - а| < ε.
Работу над определением осуществляем в два этапа.
1. Создание геометрического представления о пределе как о таком числе, что в любой окрестности точки, ему соответствующей, находятся все члены последовательности начиная с некоторого номера n.
2. Математизация наглядных представлений, позволяющая получить определение предела числовой последовательности на языке "ε - N".
Необходимо понять структуру и внутреннюю логику этого определения. Здесь два "тонких" момента: 1) число N должно существовать для любого положительного ε, а ведь таких чисел бесконечно много; 2) неравенство |y_n - а| < ε должно всякий раз выполняться при всех n > N, а ведь таких n тоже бесконечно много!
Рассмотрим последовательность (y_n), заданную геометрически (так легче подметить закономерность).

Число ε выбирается произвольно. Рассматриваем, как члены последовательности расположены на рисунке, и подмечаем закономерность.

Условимся, что если закономерность подмечена, например, для 20 членов, то можно считать ее и при n > 20.
1)Выбираем ε и задаем вопрос: начиная с какого номера N все члены последовательности попадут в полосу шириной 2 ε ? Находим N = 5, тогда для всех n > 5 будет выполняться неравенство |y_n - а| < ε (данное неравенство является математической записью слов: все члены последовательности попадут в полосу шириной 2 ε ).
2)Выбираем ε₁ и опять задаем вопрос: начиная с какого номера N все члены последовательности попадут в полосу шириной 2 ε₁?
Находим N = 15, тогда для всех n > 15 будет выполняться неравенство |y_n - а| < ε₁ и т.д., повторяем эту работу 3 - 4 раза, а затем формулируем определение предела последовательности.