Учебное пособие "Методика преподавания математики"

Равносильность уравнений и неравенств

Вопрос о равносильности уравнений и неравенств повторить самостоятельно. Обратить внимание на то, что данная тема рассматривалась отдельно для уравнений и неравенств, но между тем эти вопросы чрезвычайно близки по содержанию и тесно взаимосвязаны. Часто встречаются случаи, когда уравнение равносильно системе уравнений, неравенство равносильно уравнению и т.п. (привести примеры).
Два предложения называются равносильными, если из первого следует второе, а из второго следует первое.
На понятии равносильности основан принцип решения уравнений и неравенств. В ранее действовавших учебниках не было согласованности между свойствами равносильности уравнений и неравенств. Например, для уравнений говорили о прибавлении к обеим частям многочлена, а для неравенств - о прибавлении выражения и т.п.
В настоящее время в школьном курсе математики никаких теорем о равносильности не доказывается, основной акцент делается на раскрытие понятия равносильности. Учащиеся осознанно выполняют преобразования уравнений или неравенств, понимая, что их равносильность вытекает из свойств истинных числовых равенств и неравенств.


3. Виды уравнений и неравенств, рассматриваемые в школьном курсе математики, и методические особенности их изучения
Остановимся теперь на основных видах уравнений и неравенств с одной переменной, которые рассматриваются в школе, и проанализируем их решения с точки зрения теории равносильности.
1. Уравнения вида f(x) = g(x), где f(x) и g(x) - целые выражения
Алгоритм решения уравнения вида f(x) = g(x) состоит в том, что, прибавив к обеим частям (-g(x)), получим уравнение f(x) - g(x) = 0, равносильное исходному.
Преобразовав целое выражение f(x) - g(x) = 0 в тождественно равный ему многочлен стандартного вида, получим уравнение h(x) = 0, равносильное уравнению f(x) - g(x) = 0. В зависимости от степени h(x) уравнение имеет вид:
ax + b = 0, ax² + bx + c = 0, где a ≠ 0, ax³ + bx² + cx = 0, где a ≠ 0 и т.д.
Рассмотрим решение уравнения ax + b = 0.
Если a ≠ 0, то ax + b = 0 равносильно x = -b/a;
Если а = 0, а b ≠ 0, 0x + b = 0 - не имеет решений;
Если а = 0 и b = 0, 0x + 0 = 0 - решением является множество всех действительных чисел.
При решении квадратных уравнений необходимо научить учащихся применять не только общую формулу корней квадратного уравнения, но и формулу для случая, если b - четное, а также пользоваться теоремой Виета как для нахождения корней, так и для их проверки.
Сложным моментом для учащихся является вывод формулы корней квадратного уравнения путем выделения квадрата двучлена, поэтому здесь надо применить конкретно-индуктивный метод, постепенно усложняя примеры и переходя к общему случаю: x ² - 6x - 2 = 0, x² + 5x + 1 = 0, 2x² - 9x + 10 = 0, ax² + bx + c = 0 (вывод знать). Обращать внимание и на решение неполных квадратных уравнений.
Для решения уравнений третьей и четвертой степеней пользуемся приемами разложения многочленов на множители, а если это невозможно, то применяем метод подбора корней, используя деление многочлена на многочлен, чтобы разложить многочлен на множители.
Для решения биквадратных уравнений ax⁴ + bx² + c = 0 используем прием введения новой переменной.
Уравнение вида axⁿ + b = 0 можно заменить равносильным уравнением xⁿ = -b/a и далее решать в зависимости от того, n четное или нечетное.
2. Уравнения вида r(x) = p(x), где r(x) и p(x) - рациональные выражения, причем хотя бы одно из них является дробным
Уравнение r(x) = p(x) записываем r(x) - p(x) = 0 и приводим к виду f(x)/g(x)=0, которое равносильно системе f(x) = 0 и g(x) ≠ 0.
При решении уравнений данного типа необходимо обращать внимание на область допустимых значений переменной, особенно при сокращении дробей.
3. Уравнения, содержащие переменную под знаком модуля
При решении этого типа уравнений необходимо повторить понятие модуля и его геометрический смысл: |m| = m верно тогда и только тогда, когда m ≥ 0, |m| =-m верно тогда и только тогда, когда m ≤ 0. На основе этих утверждений решаются практически все уравнения данного типа в школьном курсе математики. При решении уравнения |ax + b| = c надо различать случаи, когда c < 0, c > 0, c = 0. При c < 0 корней нет, при c = 0 имеем
ax + b = 0, при c > 0 получаем ax + b=-c или ax + b = c.
4. Иррациональные, показательные и логарифмические уравнения
Эти уравнения рассматриваются в связи с изучением функций и используются для лучшего усвоения свойств этих функций. Уравнение равносильно системе .
А для решения уравнения используется подстановка ,которая приводит к квадратному уравнению относительно : .
К иррациональным относят и уравнения вида , где - некоторое дробное число (положительное или отрицательное), - произвольное. Если , то решений нет (так как по определению степени с дробным показателем она имеет смысл только при неотрицательном основании); если , то существует единственный корень, который находим путем возведения в степень .
Обратите внимание на следующие уравнения: имеет корень , а уравнение корней не имеет (здесь x ≥ 0). Или уравнение
(здесь x ≥ 0) неравносильно уравнению , которое имеет два корня: .
5. Тригонометрические уравнения
Эти уравнения рассматриваются в связи с изучением тригонометрических функций и используются для лучшего усвоения свойств этих функций. Методика изучения описана в соответствующем вопросе.
Классификация неравенств аналогична приведенной классификации уравнений. Существуют и другие классификации уравнений и неравенств, с которыми можно познакомиться в методической литературе.