|
3. Свойства и графики показательной и логарифмической функций.
Задание: изучите самостоятельно построение графиков показательной и логарифмической функций и их свойства.
Вопросы для самоконтроля.
1. Что называется функцией? Дайте различные определения и сделайте их сравнительный анализ.
2. Какие подходы существуют к определению понятия функции?
3. Что такое область определения функции, множество значений функции?
4. Какие способы задания функций Вы знаете?
5. Какая функция называется: а) четной, нечетной? б) периодической?
6. Какая функция называется возрастающей, убывающей?
7. Какова схема изучения функций?
8. Что включает в себя чтение графика функции? Что называется графиком функции?
9. Какие функции изучаются в школьном курсе математики? Дайте определение каждой из функций и укажите методические особенности их изучения.
10. Какова схема исследования функции?
11. Какие функции называются элементарными? Приведите примеры.
12. Каково содержание функциональной пропедевтики в IV-VI классах?
2.5.Уравнения и неравенства в курсе математики
План
О трактовке понятий уравнения и неравенства с переменными.
Равносильность уравнений и неравенств.
Виды уравнений и неравенств, рассматриваемые в курсе математики, и методические особенности их изучения.
О трактовке понятий уравнения и неравенства с переменными
Уравнения и неравенства - традиционная тема школьного курса математики, занимающая большое место, начиная с младших классов, где простейшие уравнения и неравенства решаются до введения теории на основе свойств арифметических действий, и кончая старшими классами, где решаются трансцендентные уравнения, а также системы уравнений и неравенств.
Уравнения и неравенства и их системы представляют собой тот алгебраический аппарат, тот язык, на который переводятся разного рода задачи, в том числе и прикладные, строятся их математические модели.
(Далее знакомимся по программе с распределением материала темы по классам и целями изучения темы.)
В методической литературе встречаются следующие определения понятия уравнения.
1. Равенство, выражающее вопрос, при каком значении некоторой буквы два алгебраических выражения, содержащих эту букву, имеют равные числовые значения, называется уравнением.
2. Уравнение часто определяется с помощью понятия функции: уравнение с одним неизвестным х имеет вид : Число х0 называется корнем уравнения, если, во-первых, это число принадлежит области определения каждой из функций , и, во-вторых, справедливо числовое равенство . Решить уравнение - значит, найти все его корни.
3. Уравнением (неравенством) с одной переменной называется равенство (неравенство), содержащее эту переменную. Переменную в уравнении (неравенстве) часто называют неизвестным. Значение переменной, при подстановке которого в уравнение получается верное равенство, называется корнем (или решением) уравнения.
4. Равенство, содержащее неизвестное число, называют уравнением. Найденное значение неизвестного числа называют корнем уравнения. Решить уравнение - значит, найти все его корни.
Непосредственная связь понятий уравнения и тождества устанавливается таким определением: уравнение называется тождеством, если множество решений этого уравнения совпадает с областью определения данного уравнения (пересечением областей определений функций и ).
Среди математиков и методистов велись и поныне ведутся споры по поводу трактовки понятия "уравнение (неравенство)". Эти трактовки приписывают понятию "уравнение" различные числовые значения.
Известна точка зрения, согласно которой тождество как равенство, справедливое при всех допустимых значениях входящих в него букв, противопоставляется уравнению как равенству, справедливому не при всех допустимых значениях букв - неизвестных. Если принять эту точку зрения, мы не сможем ответить на вопрос, что представляет собой запись " " (уравнение или тождество), пока не выясним, при всех или не при всех допустимых значениях имеет место равенство.
Или, например, если дано ах = в, то по этой точке зрения при а≠ 0 - это уравнение, а при а = в = 0 - тождество.
Известна другая точка зрения, согласно которой тождество не противопоставляется уравнению, а трактуется как его частный случай, причем уравнение рассматривается как равенство значений двух функций (определение 2). Равенство может оказаться верным при всех допустимых значениях х и тогда это тождество. А если нет таких значений, то уравнение не имеет корней, но существует ли оно само?
Здесь, как и в первой трактовке, трудности возникают по существу из-за двусмысленности термина "равенство" - это: а) отношение равенства, понимаемое как совпадение, представляющее собой модель общего отношения эквивалентности (рефлексивно, симметрично, транзитивно); б) предложение о равенстве как синтаксическое образование, содержащее знак "=", которое, разумеется, может оказаться истинным или ложным.
По определению 1, согласно которому уравнение - это не само равенство, а лишь вопрос о существовании значений неизвестного, при которых имеет место равенство. Принятие этой точки зрения также приводит к трудностям. В соответствии с ней запись не представляет собой уравнения, пока не поставлен вопрос о существовании "неизвестных", при которых имеет место равенство, но говорят, что это "уравнение свободного падения тел".
Точка зрения на уравнение как на "вопрос", по существу, отождествляет понятия "уравнение" и "решить уравнение", а вопрос о том, что же такое уравнение, остается открытым, поэтому данная трактовка нецелесообразна.
Первое разъяснение понятия уравнения дается в начальной школе, используется определение 4. Это простое определение, оно доступно для учащихся, но в средней школе пользоваться им нежелательно, так как замена понятия переменной "неизвестным числом" приводит к трудностям при графическом решении уравнения , где мы используем х как переменную. И поэтому более удобным является определение 3.
Трактовка уравнений и неравенств с переменными как особого вида предложений с переменными позволяет внести четкость в трактовку других понятий. Так, система уравнений или неравенств с переменной есть не что иное как особый вид конъюнкции (и) предложений с переменными.
Предложение, составленное из уравнений и неравенств с помощью связки "или", представляет собой частный вид дизъюнкции предложений с переменными. Такие предложения называются "совокупностями" уравнений или неравенств. Ее решение - значения переменной, при которых верно хотя бы одно уравнение, а другие имеют смысл.
Do'stlaringiz bilan baham: |
