Учебное пособие "Методика преподавания математики"

3. Квадратичная функция. Данная тема рассматривается в VIII классе – 16 часов. Изучение квадратичной функции начинается с наиболее простого вида этой функции, то есть с функции у=ах². В этом случае ее значение пропорционально квадрату значений независимой переменной.
Сперва рассматривается частный случай, когда а=1, т. е. функция у=х². Легко устанавливается, что:
1)функция определена для любого значения аргумента, так как каждое число может быть возведено в квадрат;
2)функция может принимать только положительные значения и 0;
3)график функции, кроме точки (0;0), расположен над осью Ох и ось Оу является осью симметрии графика функции (график данной функции называется параболой);
4)функция у=х² при изменении х от 0 до +∞ возрастает, а при изменении х от -∞ до 0 убывает;
5)при х=0 функция достигает минимума.
После этого следует перейти к рассмотрению функции у=ах², где а≠1. На одном чертеже строятся графики функции для различных значений а>0, например:
у=х² ; у=2 х² ; у= х².
Ученики легко усваивают, что эти функции обладают теми же свойствами, что и функция у=х²у=х². Различие только в том, что при а>1 графики быстрее поднимаются вверх, а при х=0 функция у=ах² достигает наименьшего значения; наибольшего значения функция не имеет.
Для построения этих графиков нет необходимости составлять заново таблицу значений. Например, имея график функции у=х², для нахождения графика функции у=2х² достаточно уменьшить масштаб на оси Оу в два раза.
Необходимо установить общность и различие свойств функции у=ах² при а>0 и а<0.
Необходимо обратить внимание учеников на то, что при а<0 функция у=ах² принимает наибольшее значение при х=0 и не имеет наименьшего значения, что при а<0 ветви параболы направлены вниз.
Полезны упражнения следующего рода: построить график функции
у= -ах², если дан график функции у=ах².
Изучение функции у=ах²+с и построение ее графика не вызовет затруднений, если сравнить ее с функцией у=ах². При а>0 функция имеет минимум при х=0; при а<0 функция имеет максимум при х=0. Различие будет в том, что вершина параболы смещается вдоль оси Оу в зависимости от знака с.
Полезно предложить учащимся начертить таблицу для различных случаев расположения графиков.
Особенно существенным является вопрос о корнях уравнения ах²+с=0, то есть тех значений аргумента, при которых функция принимает значение, равное 0.
После изучения функции вида у=ах²+с переходят к изучению функции, представляющей полный квадратный двучлен, то есть к функции вида
у= а(х+m)². Этот промежуточный этап облегчает понимание сдвига параболы вправо или влево вдоль оси Ох. Останавливаться очень подробно на функции данного вида нет большой необходимости. Достаточно проделать с учащимися несколько примеров следующего вида:
у=2х²-12х+18 или у=2(х-3)².
Ученики должны ясно представлять себе, что парабола обращена ветвями вверх (а =2>0), вершина параболы сдвигается вдоль оси Ох на расстояние, равное 3 единицам, в точке М(3, 0) парабола касается оси Ох и при х=3 функция достигает минимума. Аналогично исследуется и функция у=-3х²-12х-12.
Далее следует перейти к рассмотрению квадратичной функции общего вида: у=aх²+bх+c.
Исследование квадратичной функции полезно увязать с дискриминантом соответствующего квадратного уравнения. В результате исследования ученики могут составить соответствующую таблицу (сделать самостоятельно).
Функция у=aх²+bх+c.
Координаты вершины