Учебное пособие "Методика преподавания математики"

Методика изучения понятия "Первообразная функции"

Первый урок по теме " Первообразная" можно начать математическим диктантом, чтобы проверить, все ли ученики готовы к восприятию нового, все ли они умеют дифференцировать и понимают физический смысл производной. Вот примерный текст диктанта:
1. Найдите производную функции у=8.
2. Найдите производную функции у=7.
3. Найдите производную функции у=3х²+5х+7.
4. Найдите производную функции у=3х²+5х+12.
5. Найдите производную функции у=3sin²х.
6. Уравнение пути движущейся точки s=8x³. Найдите уравнение скорости ее движения.
7. Найдите уравнение ускорения движения той же точки.
Этот диктант следует проверить сразу, чтобы уже перед объяснением видеть, на каком уровне подготовленности находится класс. С этой целью учащиеся могут записывать ответы на двух листах под копирку: один лист сдается учителю для оценки, а по второму листу ученик проверяет и анализирует свои ответы.
При анализе диктанта нужно подчеркнуть, что разные функции могут иметь одну и ту же производную (вопросы 1-2 и 3-4).
y=c (c-const) y'=0
y=x y'=1
y=x² y'=2x
y=x³ y'=3x²
y=x^-2 y'=-2x^-3
y=x^-3 y'=-3x^-4
y=x^k (k€Z) y'=kx^k-1
y=sin x y'= cos x
y=cos x y'=-sin x
После анализа диктанта переходим к объяснению нового материала. Начав с краткого введения о необходимости решать задачу, обратную дифференцированию, можно показать таблицу и научить школьников использовать ее для нахождения функции по ее производной. Здесь же важно подчеркнуть, опираясь на примеры из диктанта, что задача эта решается неоднозначно. Например, если производная f'(х) равна 0, то искомой функцией может быть и f(х)=7, и f(х)=8, и вообще любая f(х)=с, с€R. Далее можно по учебнику ознакомить учащихся с определением первообразной и разобрать приведенные примеры.
Закрепление материала позволяет провести задания с пропусками. Эти задания полезно предъявить классу в виде печатных раздаточных материалов (тетради с печатной основой и т. п.), но можно подать и фронтально кодоскопом или мелом на доске, или даже на слух.
1. Заполните пропуски в определении первообразной: функция F называется ___________ на заданном __________ для функции f или для всех __________ из этого промежутка ____________ = ___________.
2. Докажите, что 2х² есть первообразная для 2х на (-∞; +∞). Доказательство: (_____) =_____ для всех х __.
3. Докажите, что функция Н(t) есть первообразная для функции h(t) на указанном промежутке, если _______________ .

а) , h(t)=t⁴-3, t€ (-∞; +∞).

Решение.
По определению, функция _______ есть первообразная на данном промежутке для функции ________, если для ___________ данного промежутка _____ = _______.
есть первообразная для h(t)=t⁴-3 на промежутке
(-∞; +∞), т. к. ____=0 - ____ + ____ = ______ для всех t€___;
б) Решение. есть и ______ для h(t)=______ на промежутке _______, т. к. _______=______ для всех _______.
4. G(x) есть первообразная для g(x) на R; найдите g(x), если
а) G(x)=x²-2x; б) G(x)= 5; в) G(x)=(x-1)²; г) G(x)=89.
Решение. Если G(x) - первообразная для g(x) на R, то для всех х€_____ выполняется равенство _________=__________, следовательно,
а) g(x)=G (x)=(x² 2x) =_________; б) g(x)=G (x)=_________________;
в) g(x)=_______________________; г) ____=______=_______________.
5. Найдите среди приведенных в предыдущем задании функций первообразные для функций:
а) g(x)=2x 2 на R; б) g(x)=0 на R.
Ответ. а) ____________; б) ___________.
6. Найдите четыре первообразных для функции f(x)=3. Сделайте вывод.
Решение. (3х) =______. Поэтому одна из первообразных F(х)=__________. (3х+18) =_________. Поэтому еще одна первообразная F(х)=_________. (3х+___)=_________. Поэтому еще одна первообразная F(х)=________________. (3х ___)=_________. Поэтому еще одна первообразная F(х)=________________.
Ответ. 1) _______; 2) _______; 3) _______; 4) _______.
7. Пользуясь таблицей с формулами дифференцирования, найдите по одной из первообразной для каждой из следующих функций:
а) ; б) sin x; в) х; г) 1; д) .
Решение. а) Первообразной для является функция ________; б) _________ для __________ является функция ______________; в) первообразной для ________ является _______________ х; г) __________ для _________ является ___________; д) _____________________.
Закончить такой урок можно предупреждением, что на следующем уроке будет письменный опрос, в процессе которого каждый ученик напишет полное определение первообразной и выполнит задание, аналогичное упражнениям учебника.
Следующий урок начинается с письменного опроса.
1) Написать определение первообразной.
2) Доказать, что функция х³+17х+9 является первообразной для функции 3х²+17.
3) Найти одну из первообразных функции косинуса. Ответ обосновать.
f(х)=0 F(x)=c (c=const)
f(х)=1 F(x)=x+c
f(х)=2х F(x)=x²+c
f(х)=3х² F(x)=
f(х)= 2х ³, х≠0 F(x)=
f(х)= 3x ⁴, x≠0 F(x)=
f(х)=kx^{k 1}, k€Z F(x)=
f(х)=cos x F(x)=
f(х)=sin x F(x)=
Работу желательно проверить на уроке. Далее на этом же уроке может быть изложено основное свойство первообразной. В качестве задания рекомендуется заполнить таблицу.
Далее доказываются теоремы - правила отыскания первообразных суммы, произведения на постоянный множитель и функции f(kx+b).