Учебное пособие "Методика преподавания математики"

t₂ =Т_г (рис. 2).

В простейшем случае, если мгновенная скорость постоянна, т. е, const для t Є [T₁, Т_г], то путь, пройденный телом, равен (по определению, известному из курса физики) произведению скорости на время движения: s = (T₂ — T₁). В общем случае, когда мгновенная скорость непостоянна, поступают следующим об­разом.

Промежуток изменения времени [T₁, Т_г] разбивают точками t_o = Т_1, t_1, t₂, ..., t_n-1, t_n = Т_г (t₀ < t₁ < ... < t_n) на n отрез­ков [t_i-1, t_i] (i = 1, 2, ..., n) одинаковой длины

Далее, выбрав на каждом отрезке [t_i-1, t_i] произвольную точку , составляют сумму (*). Каждое слагаемое этой суммы дает приближение пути, пройден­ного телом за время от t = t_i-1 до t = t_i. Действительно, скорость в точках отрезка [t_i-1, t_i] мало отличается от ее значения в точ­ке так как функция непрерывна. Поэтому путь, который прошло тело за промежуток времени [t_i-1, t_i], приближенно равен пути, который проходит тело за это время с постоянной скоростью, равной . Следовательно, путь, пройденный телом за время от t = T₁ до t = Т_г, приближенно выражается суммой (*):

так как он складывается из путей, пройденных телом за каждый промежуток времени [t_i-1, t_i], на которые разбит отрезок времени [T₁, Т_г]. Легко видеть, что приближение будет тем лучше, чем мель­че отрезки деления [t_i-1, t_i]
(i = 1, 2, ..., n).
Поэтому путь, пройденный телом за отрезок времени [Т_1, Т₂], определяется как предел следующего вида:

Если учащимся известно понятие интеграла, то путь, пройденный телом, можно вычислить по формуле .
Задача о силе давления жидкости
Пусть пластинка в виде трапеции погружена вертикально в жидкость с удельным весом у так, что ее основания параллельны свободной поверхности жидкости и находятся ниже ее уровня соот­ветственно на расстоянии а и b (рис. 3). Требуется определить силу давления жидкости на пластинку. Если бы пластинка находи­лась в горизонтальном положении на глубине h от свободной поверх­ности (уровня) жидкости, то сила давления жидкости F на пластин­ку была бы равна весу столба жидкости, имеющего основанием данную пластинку, а высотой — глубину h, т. е.
(*)
где S — площадь пластинки. Если же пластинка погружена в жидкость вертикально, то по формуле (*) давление жидкос­ти на пластинку не может быть вычислено, так как в этом слу­чае давление жидкости на еди­ницу площади пластинки изме­няется с глубиной погружения. При решении задачи будем учитывать закон Паскаля, т. е. то, что давление жидкости передается во все стороны одинаково. Для решения задачи разобьем пластинку на n частей (малых горизонтальных полосок) прямыми, параллельными свободной поверхности жидкости (т. е. параллельно оси Оу) и проходящими через точки: х₀ = а, x₁, х_г,..., х_п-1,x_n =b(x₀₁₂<…_n-1n ),
Выделим одну из полосок — i-ю (на рисунке она заштрихо­вана), находящуюся на глубине x_i. Для достаточно узкой полоски давление во всех ее частях можно считать приближенно одинако­вым, а саму полоску можно принять за прямоугольник с высотой и основанием, равным нижнему основанию полоски. Легко ви­деть, что основание прямоугольника зависит от глубины погру­жения полоски, т. е. будет функцией абсциссы х. Обозначим эту функцию f(х), х Є [а; b]. Таким образом, силу давления на полоску можно вычислить по формуле (*), т. е. имеем:
Просуммировав силы давления жидкости на все полоски, най­дем некоторое приближение силы давления жидкости на всю плас­тинку:

Точное значение силы давления жидкости на пластинку опре­деляется по формуле

Следовательно, если учащиеся знакомы с понятием интеграла, сила давления жидкости на пластинку вычисляется по формуле

Далее, если еще не было введено понятие (определенного) ин­теграла, следует переходить к рассмотрению этого понятия следую­щим образом. Итак, нами рассмотрены задачи (геометрическая и физические), решение которых производилось с помощью одной и той же последовательности действий (одним и тем же методом), приводящей к построению некоторой суммы и нахождению предела этой суммы. Так как указанный метод применяется к реше­нию большого числа математических и прикладных задач, то, естественно изучить его, абстрагируясь от конкретного содержа­ния задач. Сущность этого метода состоит в следующем:
1) Пусть на отрезке [а, b] задана произвольная однозначная
ограниченная функция f (х). Отрезок [а, b] разбивается на п частей
[a_i-1, a_i] (i = 1, 2,..., n) одинаковой длины
точками а₀ = а, а₁ а₂, ..., а_п-1, а_п=b причем а₀ < а₁ < а_г < ... ... < a_n-1 < а_п.
На каждом из отрезков разбиения [a_i-1, a_i] (i= 1, 2, ..., п) выбирается произвольная точка x_i и для каждого отрезка разбие­ния составляется произведение значения функции f(х) в выбран­ной точке x_i на длину соответствующего отрезка [a_i-1, a_i], т. е. произведение вида f (х_i) (a_i – a_i-1)= f(x_i) .
Берется сумма всех таких произведений: , называемая интегральной суммой функции f (х) на отрезке [а, b].
4) Находится предел интегральных сумм s_n (a; b), т. е.

Рассматриваемый предел, если он существует, носит название определенного интеграла и обозначается

После всего сказанного можно формулировать определение интеграла как некоторого предела интегральных сумм.