Учебное пособие "Методика преподавания математики"

Методика ознакомления учащихся с аксиомами

Прежде всего выясним вопрос: "На использование какой методики ознакомления учащихся с аксиомами ориентируют существующие пособия?" В пособии А. В. Погорелова применен своеобразный методический подход. Вначале слова "аксиома", "теорема", "доказательство" даже не употребляются, вместо них говорят: "основное свойство", "свойство", "объяснение". Вместо выражений "скажите определение" или "сформулируйте определение" используются выражения "какая фигура называется:" или "что такое:" Термины "аксиома", "теорема", "доказательство" вводятся и разъясняются в конце § 1 пособия лишь после того, как учащиеся приобретут некоторый опыт применения аксиом в доказательствах. В результате осуществляется неформальное и ненавязчивое введение аксиом, а разъяснение их роли становится более конкретным и убедительным. Дайте учащимся задание прочитать эти предложения. Поставьте вопросы, отвечая на которые, они воспроизводили бы эти формулировки. Как можно сформулировать такие вопросы, используя термины "основное свойство", "свойство", "что такое:", "какая фигура называется:"? Реализуйте при этом следующую методическую схему введения аксиом: 1) ввести аксиому на наглядной основе; 2) сформулировать аксиому; 3) выполнить логический анализ формулировки аксиом; 4) провести математический диктант.

4. 
   О введении первых понятий
   

Необходимо иметь в виду, что некоторые математические понятия являются неопределяемыми (в школьном курсе список неопределяемых понятий обычно избыточный). В пособии такими понятиями являются: "точка", "прямая", "точка принадлежит прямой", "точка В лежит между точками А и С", "полуплоскость", "длина отрезка", "мера угла", "отложить отрезок (угол) заданной меры". Свойства неопределяемых понятий описываются аксиомами. Все остальные понятия - определяемые. Примерами таких понятий являются: "отрезок", "полупрямая", "угол", "развернутый угол", "луч проходит между сторонами угла", "треугольник", "угол треугольника", "равные треугольники", "параллельные прямые" и др.
Остановимся на некоторых особенностях определений в данной теме.
Убедитесь в следующем: 1) отрезок определяется таким образом, что концы ему не принадлежат; в связи с этим нельзя использовать обозначение отрезка с помощью квадратных скобок: [АВ]; 2) полупрямая определяется таким образом, что ее начальная точка ей не принадлежит; 3) угол определяется так, что вершина угла не принадлежит ему; 4) вершины треугольника (по определению) принадлежат ему.
Мы не рекомендуем обращать внимание учащихся на отмеченные выше тонкости. Знать о них должен прежде всего учитель. Это поможет ему избежать некорректной математической речи и символических обозначений.
Одним из центральных понятий для всего курса геометрии является понятие равных треугольников. В учебнике А. П. Киселева равенство треугольников определяется с помощью наложения. В пособии под редакцией А. Н. Колмогорова сразу вводится общее понятие равенства фигур (с помощью перемещения). Можно утверждать, что определение равенства треугольников, приводимое в пособии А. В. Погорелова , для школьной практики является новым. Это определение таково: "Треугольники АВС и А₁В₁С₁ называются равными, если у них ₁, ₁, ₁, АВ= А₁В₁, BC= В₁С₁, AC=А₁С₁". Как видно из этого определения, речь идет о равенстве не просто каких-либо двух треугольников, а треугольников, между которыми установлено соответствие: A→A, В→В, С→С. По этой причине, например, равенство ∆АВС=∆А₁В₁С₁ может выполняться, но для "тех же" треугольников равенство ∆АВС=∆В₁А₁С₁ может оказаться несправедливым.