|
Приближенные вычисления
Изучение темы начинается с вопроса о применении производной к приближенным вычислениям. Этот вопрос дает возможность познакомиться с глубокими сведениями об изучении функций методами математического анализа и служит хорошим фундаментом для разъяснения материала о касательной к графику функции, а также об исследовании функций с помощью производной. Кроме того, формула, выражающая приближенные значения дифференцируемой функции, дает возможность на вполне доступном для учащихся уровне ознакомить их с общей идеей аппроксимации (приближения). Учащиеся часто спрашивают: "Вот мы умеем, зная формулу, задающую функцию, построить ее график; а можно ли решить обратную задачу: по графику найти формулу, позволяющую вычислять значения функции?" Или: "Как составляется таблица значений синуса?"
Изучение формулы .
Конечно, нет ни возможности, ни необходимости разбирать с учащимися этот вопрос в общем плане (учителю ясно, что эта формула является частным случаем решения задачи приближения функции многочленом с помощью формулы Тейлора). Но внимание к постановке задачи, отдельные реплики и примеры не только расширят кругозор учащихся, повысят их интерес к изучению материала, но и помогут преодолеть некоторые методические трудности.
Одной из таких трудностей, как показал опыт, является переход от равенства к равенству . Возникновение этой трудности можно предотвратить уже при постановке проблемы, начав изложение примерно таким пояснением.
"Вы знаете, что для функции f, непрерывной в точке х0, выполняется равенство . С другой стороны, если функция в некоторой точке х0 имеет предел, то ее значение вблизи х0 приближенно равно этому пределу, т. е. для х≈х0 (1). Отсюда следует, что для непрерывной в х0 функции ее значение вблизи х0 можно приближенно вычислять по формуле f(x) ≈ f(x0). Мы покажем, что если f не только непрерывна в точке х0, но и дифференцируема в этой точке, то можно получить формулу для вычисления значений этой функции с более высокой точностью".
Так как в этом вступлении напоминается равенство (1), то теперь вывод формулы получится без труда: так как то для ∆х≈0 выполняется равенство , откуда .
Поставлена во вступлении и другая задача - оценить погрешность полученной формулы. Следует иметь в виду, что для ряда учащихся оказываются трудными рассуждения, проведенные в учебнике в общем виде для оценки остаточного члена R(∆x). Преодолеть эту трудность можно, заменив общее рассуждение конкретным примером, используя то, что в частном случае (для многочлена) величину отбрасываемого многочлена можно легко оценить. Итак, чтобы оценить погрешность рассматриваемой формулы, на уроке разбирается пример. Пусть . Тогда наша формула дает: . Вычислим теперь точно:
(2).
Мы видим, что вычисляя по приближенной формуле, мы отбрасываем два слагаемых с ∆x2 и∆x3. Если ∆x мала, т. е. если мы вычисляем значение функции в точке, близкой к точке ∆x , то эти слагаемые еще меньше.
∆x
|
∆x2
|
∆x3
|
0,01
|
0,0001
|
0,000001
|
0,001
|
0,000001
|
0,000000001
|
0,0001
|
0,00000001
|
0,000000000001
|
Что это значит, видно из таблицы.
Приведенные рассуждения показывают, что чем меньше |∆x| , тем точнее приближение, получаемое при отбрасывании двух последних слагаемых в равенстве (2).
В заключение такого разъяснения следует сказать, что и для других функций погрешность будет зависеть от ∆x таким же образом.
Конечно, такой подход к выводу оценки погрешности формулы не может претендовать на общность рассуждений, но преимущество его состоит в том, что он более доступен учащимся.
Таким образом, получение формулы (3) предстанет перед учащимися как частный случай решения общей задачи приближения функции многочленом, что дает возможность заменять сложные вычисления простыми. Этот прикладной смысл формулы (3) на уроках иллюстрируется обычно или на примере извлечения корня, или на примере обратной пропорциональности: действительно, умножать проще, чем делить, а извлекать корень, например, пятой степени учащиеся вообще не умеют. Однако значение этой формулы учащиеся оценят лишь в том случае, если увидят, что вычисления действительно упрощаются. Поэтому, в частности, не следует особенно увлекаться отработкой общей формулы , которая все-таки требует довольно громоздких вычислений. Полезнее и интереснее для учащихся дать ее очень простой частный случай для приближенного извлечения корня из чисел, близких к единице. Действительно, для х0=1 имеем: .
Например, и т. д.
Do'stlaringiz bilan baham: |
