Учебное пособие "Методика преподавания математики"

Индукция и дедукция.

Прочное усвоение математических знаний невозможно без целенаправленного развития мышления. Развитие мышления - одна из основных задач современного школьного обучения.
Мышление - есть активный процесс отражения объективного мира в сознании человека.
С точки зрения формальной логики мышление характеризуется тремя основными формами: понятиями, суждениями, умозаключениями.
Формой связи понятий друг с другом является суждение. Мыслить - значит высказывать суждения. С помощью суждений мысль получает свое дальнейшее развитие.
Умозаключение - это процесс получения нового суждения - вывода из одного или нескольких данных суждений. Умозаключение отличается (как форма мышления) от понятия и суждения тем, что оно представляет собой логическую операцию над отдельными мыслями.
Различают два основных вида умозаключений: индукцию и дедукцию. Понятие об индукции впервые упоминается в трудах древнегреческого философа Сократа (469-399 г. до н. э.).
Индукция - умозаключение (вывод) от частного к общему, то есть общий вывод, основанный на изучении свойств отдельных, частных фактов (частных экспериментов или наблюдений). Или иначе, индукция - это вывод общего заключения из частных посылок.
Например, построить графики конечного числа линейных уравнений с двумя переменными: 2х-у+3=0, х+2у+4=0. Мы заключаем, что график уравнений вида ax+by+с=0 - прямая линия.
Индукция бывает полной и неполной. Индукция называется полной или совершенной, если общий вывод делается на основании изучения (рассмотрения) всех частных фактов (объектов, фигур, чисел и т.д.).
Индукция называется неполной или несовершенной, если общий вывод делается на основании изучения только части множества всех фактов (объектов).
Например, если доказать теорему о вписанном в окружность угле, рассматривая при этом все частные случаи расположения центра окружности по отношению к сторонам угла, то полученный вывод будет представлять собой полную индукцию.
В процессе обучения неполная индукция применяется при изучении законов сложения (вряд ли у кого возникнет сомнение). И как мы уже отметили, вывод, основанный на неполной индукции, может быть ошибочным, но ее значение в том, что рассмотрение частных случаев наводит на мысль о существовании той или иной закономерности, помогает высказать гипотезу, которую можно доказать дедуктивным путем. Например, такой прием применяется в школе при изучении прогрессий.
Дедукция (лат. deductio - выведение) есть форма умозаключения при которой от одного общего суждения идут к частному суждению.
Если индукция является важным эвристическим средством, то с помощью дедукции мы доказываем предложения, сформулированные как гипотезы (предположения) в результате индукции.
Существенным различием между индукцией и дедукцией является характер заключения. Заключение по индукции лишь правдоподобно, заключение же по дедукции достоверно.
Дедукция (логический вывод) носит формальный характер, состоящий в том, что в наших рассуждениях, доказательствах одни предложения выводятся из других в силу определенной связи между их формой, структурой, независимо от конкретного содержания этих предложений. Например, квадрат - ромб, ромб - параллелограмм, значит, квадрат - параллелограмм.
В настоящее время дедукцией, или дедуктивным методом доказательства, называется доказательство, основанное на системе определенных аксиом. И поэтому дедуктивный метод называется аксиоматическим методом. Дедукция является строгим, логически обоснованным методом доказательства в математике.
Как видим, дедукция и индукция тоже тесно связаны между собой.