Учебное пособие для вузов 2-е издание, исправленное и дополненное Ìîñêâà  Þðàéò  2017

12

---

3. Метоäèка ввеäеíèя поíятèя проèзвоäíой
11 
3. Методика введения понятия производной
а) различные подходы к определению производной
Существуют различные подходы к введению понятия производной. 
Рассмотрим наиболее распространенные и принятые в действующих учебни-
ках алгебры и начал анализа. 
I. А. Н. Колмогоров (и др.) «Алгебра и начала анализа»
§ 4 «Производная» 
1. Приращение функции. 
2. Понятие о производной. 
3. Понятие о непрерывности функции и предельном переходе. 
4. Правила вычисления производных. 
5. Производные тригонометрических функций. 
Вначале вводятся понятия приращения функции и приращения аргу-
мента. Это делается следующим образом. 
Пусть х — произвольная точка, лежащая в некоторой окрестности фик-
сированной точки х
0
. Разность х - х
0
называется приращением независимой 
переменной (или приращением аргумента) в точке х
0
и обозначается 

х. Та-
ким образом,

х = х - х
0
, 
откуда следует, что х = х
0
+ 

х. 
Говорят также, что первоначальное значение аргумента х
0
получило 
приращение 

х. Вследствие этого значение функции f  изменится на величину 
f (x) – f (x
0
) = f (x
0
+

x) – f (x
0
). 
Эта разность называется приращением функции f в точке х
0
, соответст-
вующим приращению 

х, и обозначается символом 

f (читается «дельта 
эф»), т. е. по определению 

f = f (х
0
+ 

х) - f (х
0
), 
откуда 
f (x) = f (x
0
+ 

х) = f (х
0
) + 

f. 
При фиксированном х
0
приращение 

f есть функция от 

х. 

f называют также приращением зависимой переменной и обозначают 
через 

у для функции у = f (x).
Затем выполняются упражнения на нахождение приращения функции и 
приращения аргумента для фиксированной точки при заданной функции у. 
П р и м е р 1. Найти приращения 

х и 

f в точке х
0
, если f (х) = х
2
, х
0
= 2. 
П р и м е р 2. Найти приращение 

f функции f (х) = 
1
х
, в точке х
0
, если 
приращение аргумента равно 

х. 
Прежде чем формулируется определение производной, вводятся понятия 
о касательной к графику функции в данной точке и мгновенной скорости дви-
жения. Определение производной дается следующим образом: 
О п р е д е л е н и е 1. Производной функции f в точке х
0
называется чис-
ло, к которому стремится разностное отношение 
13

---

12 
0
0
(
)
( )
f
f x
x
f x
x
x

  



при 

х, стремящемся к нулю. 
Производная функции f в точке х
0
обозначается f
/
(х
0
). Затем рассматри-
ваются примеры нахождения производной с помощью определения. 
Понятие предельного перехода автор не рассматривает. 
Функцию, имеющую производную в точке х
0
называют дифференци-
руемой в этой точке. Нахождение производной данной функции f называют 
дифференцированием.