Учебно-методическое пособие Саранск 2012 Подгруппы, циклические подгруппы. Циклические группы

Задача 69. Определить, является ли отображение гомоморфизмом группы в группу . Если «да», то найти .
Решение. .
При отображении возможны следующие случаи:
1) – чет, – чет; 2) – нечет, – чет; 3) – чет, – нечет; 4) – нечет, – нечет. Проверим, как ведут себя . В первом случае – чет, следовательно . Но , , т. к. и – четные. Тогда . Во втором случае – нечетные, следовательно . Но , и , т. е. . В третьем случае , , , т. е. . В четвертом случае , , , т. е. . В итоге можно сказать, что для любых верно: . Следовательно, – гомоморфизм группы в группу .
Ядром гомоморфизма является множество всех четных чисел, т. е. .
Если при гомоморфизме отображение взаимооднозначно, т. е. , то называется изоморфизмом группы в группу . Если при этом имеется наложение множества на множество , то группы и называются изоморфными.
Задача 70. Изоморфны ли группа и мультипликативная группа кольца ?
Решение. . – множество обратимых элементов из . Взаимооднозначных отображений на несколько. Из них надо выбрать то (если оно существует), которое удовлетворяет определению изоморфного отображения. Для удобства рассуждений построим таблицы Кэли для и :

:					:

Зададим такое отображение , при котором нейтральный эле-мент отобразится в нейтральный элемент (по свойству изоморфиз-ма), т. е. . Тогда остается только одна возможность для отображения . Итак,
.
Проверим, будет ли верно: при .

, т. к. по .

Итак, при , т. е. – изоморфизм. Следова-тельно, группа и мультипликативная группа кольца – изоморф-ны.