Учебно-методическое пособие Саранск 2012 Подгруппы, циклические подгруппы. Циклические группы

Задача 62. Найти фактор-множество множества по подгруппе относительно операции сложения.
Решение. Операция сложения в коммутативная, поэтому левое и правое разложения по будут одинаковые. Разложим на на левые смежные классы.
, например, . Строим . . Имеем разложение по на два смежных класса. Фактор-множество: .
Задача 63. В мультипликативной группе
, , , , , возьмем подгруппу . Найти фактор-множество множества по .
Решение. При левостороннем разложении по имеем:
, , , т. е. левосторонний фактор-множество .
При правостороннем разложении по имеем:
, , , т. е. правостороннее фак-тор-множество , причем , .
Индекс подгруппы в равен 3.
Задача 64. Найти разложение аддитивной группы по подгруппе целых чисел, кратных 3.
Решение. .
, например, . Составим . Следовательно, класс состоит из всех целых чисел, которые при делении на 3 дают в остатке 1. , напри-мер, , . Составим . Следовательно, класс состоит из всех целых чисел, которые при делении на 3 дают в остатке 2. Итак, в находятся все целые числа, которые при делении на 3 дают в остатке 0, в классе – все целые числа, которые делятся на 3 дают в остатке 1, в классе – все числа с остатком 2. Но при делении на 3 возможны только остатки 0, 1, 2. Значит, все целые числа распределились по классам , т. е. разложение на смежные классы по имеет вид: . Так как сложение в коммутативное, то левостороннее разложение совпадает с правосторонним. Индекс подгруппы в равен 3.