Учебно-методическое пособие Саранск 2012 Подгруппы, циклические подгруппы. Циклические группы

Задача 68. Найти фактор-группу группы по подгруппе .
Решение. – нормальный делитель, т. к. сложение в коммутативно. Найдем разложение по : . Действительно, изобразим на числовой оси, а элементы отметим на ней точками:

Построим , где . Если , то , если , то элементы отметим звездочками. Тогда состоит из элементов, отмеченных точками и звездочками. В это множество не попадает элемент, например, . Тогда строим множество , элементы которого обозначим штрихом. Тогда состоит из элементов, обозначенных точками, звездочками и штрихами, но не совпадает с . Очевидно, чтобы совпало с , необходимо, чтобы .

Мы построили фактор-множество . Согласно процедуры факторизации, операция сложения определяется следующим образом: , где , .
Гомоморфизм и изоморфизм групп

Гомоморфизмом группы в группу называется такое отображение множества и в множество , при котором композиция любых двух элементов и относительно операции отображается в композицию образов элементов и относительно операции , т. е. . При гомоморфизме групп: 1) нейтральный элемент группы отображается в нейтральный элемент группы , т. е. . 2) пара симметричных элементов , группы отображаются в пару симметричных элементов , группы .

Множество всех элементов группы , которые при гомоморфизме отображаются в нейтральный элемент группы относительно сужений операции образует подгруппу группы , которая является нормальным делителем группы и называется ядром гомоморфизма .