Учебно-методическое пособие для студентов специальностей

Пример расчета методом контурных токов
В качестве примера рассмотрим определение токов и э.д.с. методом контурных токов в электрической цепи, приведенной на рис. 1.
Числовые данные параметров расчетной схемы:


Рис.1. Расчётная схема


Перерисуем расчетную электрическую схему (см. рис. 1), изобразив ее в более удобном для расчета виде. Соединим заземленные точки, т.е. точки с одинаковыми потенциалами. В связи с тем, что внутренние сопротивления вольтметров и бесконечно большие и не влияют на токораспределение, исключим их из схемы при расчете токов. Если в схеме были бы ветви, по которым не протекают токи, т.е. они не составляют замкнутый контур, то их тоже надо было бы исключить из расчетной схемы при расчете токов. Такие схемы в условиях задания имеются.
В расчетной схеме имеется семь ветвей, в двух из них, согласно условию задания, токи известны, а именно, ток в ветви с и , ток в ветви с источником тока. Неизвестны направление и численное значение э.д.с. . Для проведения расчетов зададимся направлением ; пусть оно будет совпадать с направлением тока в этой ветви.
Для составления уравнений по методу контурных токов выберем независимые контуры. При этом учтем, что через ветвь с источником тока необходимо проводить только один контур. Выберем контуры I, II, III, IV соответственно с контурными токами , , , , которые отмечены на схеме, приведенной на рис, 2.



Рис.2. Контурные токи в расчётной схеме


Составим стандартные уравнения по методу контурных токов (3).
(4)
где – контурное сопротивление первого контура;
– контурное сопротивление второго контура;
– контурное сопротивление третьего контура;
– общее сопротивление между контурами I и II; принимается со знаком "плюс", так как контурные токи и в сопротивлении совпадают по направлению;
– общее сопротивление между контурами I и III; принимается со знаком "минус", так как контурные токи и в сопротивлении встречны по направлению;
– общее сопротивление между контурами I и IV; принимается со знаком "плюс", так как контурные токи и сопротивлении совпадают по направлению;
– сопротивление между контурами II и III; принимается со знаком "плюс", так как контурные токи в сопротивлении совпадают по направлению;
– общее сопротивление между контурами II и IV; равно нулю, так как контурные токи не имеют общего сопротивления;
– общее сопротивление между контурами III и IV; принимается со знаком "минус", так как контурные токи и в сопротивлении встречны по направлению;
– контурная э.д.с. первого контура;
– контурная э.д.с. второго контура;
– контурная э.д.с. третьего контура;
– контурный ток четвертого контура.
Отметим, что в системе уравнений (4) всего четыре неизвестных, из них три контурных тока , , и одна э.д.с. в и .
Подставив количественные значения токов, сопротивлений и э.д.с. в уравнения (4), получим:
(5)
Выполним несложные преобразования в уравнениях (5): подставим значение тока ; в целях снижения порядка системы уравнений и уменьшения объема вычислений выразим согласно четвертому уравнению один из токов через другой: пусть ; после этого перепишем уравнения (5) в стандартной форме так, чтобы каждый столбец соответствовал только одной неизвестной , , .
(6)
Полученную систему уравнений можно решить одним из известных математических методов. Воспользуемся методом определителей.
Главный определитель

Первое алгебраическое дополнение (для неизвестного )

Второе алгебраическое дополнение (для неизвестного )

Третье алгебраическое дополнение (для неизвестной е.д.с. )

Искомые величины

Отметим, что систему уравнений (6) целесообразно из-за объема вычислений решить методом исключений. Для этого складываем первое и второе уравнения и для удобства расчетов все члены третьего уравнения разделим на два. После этих операций получим
(7)
В (7) первое уравнение умножим на семь, второе – на восемь и вычтем из первого второе. Тогда

Подставив значение в (7), получим , а значения и в (6), получим . Ток в .
Окончательно перепишем значения искомых величин , , , .
Теперь по известным контурным токам определим токи в ветвях. Зададимся направлениями этих токов. В ветвях с источниками э.д.с. примем направления токов совпадающими с направлениями э.д.с. (см. рис. 2).
Тогда
; ; ; ; .
Проверку полученных результатов выполним по второму закону Кирхгофа. Для первого контура имеем:

а после подстановки числовых значений получим:

Для второго контура:
получим

Аналогично для третьего контура
получим