Учебно-методический комплекс нукус 2021 год министерство высшего и средне-специального образования республики узбекистан

Взаимное пересечение многогранников

Многогранные поверхности пересекаются друг с другом по замкну- тым ломаным линиям, для построения которых сначала находим точки пересечения ребер одного многогранника с гранями другого, а затем – ребер второго с гранями первого. Соединяя в определенной последова- тельности полученные точки, строим искомую ломаную, каждое звено которой представляет собой прямую пересечения двух граней – грани первого многогранника с гранью второго.

Итак, построение линии пересечения двух многогранников сводится к решению задачи на пересечение прямой линии с многогранником (или на взаимное пересечение двух плоскостей – граней многогранников).
На рис. 8.13 приведен пример построения линии взаимного пересе- чения прямой четырехугольной призмы с пирамидой SABC.

X
C₁
Ф₁ ^D₁
B₁

5₁

7₁ 8₁
E₁
3₁

A₁

6₁
^{4 1 S}1

2₁

1₁

Рис. 8.13

Основание призмы совмещено с плоскостью П₁. Горизонтальные проекции вертикальных ребер преобразуются в точки. Грани боковой по- верхности призмы представляют собой отсеки горизонтально-проецирую- щих плоскостей. Линия пересечения многогранников определяется по точкам пересечения ребер каждого из них с гранями другого многогран- ника. Так, ребро SA (S₁A₁, S₂A₂) пирамиды пересекает две вертикальные грани призмы: одну в точке 1 (1₁ 1₂), вторую – в точке 2 (2₁ 2₂). Ребро SB (S₁B₁, S₂B₂) пирамиды пересекает две вертикальные грани призмы в точ- ках 3 (3₁ 3₂) и 4 (4₁ 4₂); ребро SC (S₁C₁, S₂C₂) – в точках 5 (5₁ 5₂) и 6 (6₁ 6₂).

Из четырех вертикальных ребер призмы только одно пересекает пи- рамиду. Находим точки его пересечения с гранями пирамиды. Через это ребро и вершину S (S₁, S₂) пирамиды проводим вспомогательную горизон- тально-проецирующую плоскость Ф. Она пересекает пирамиду по прямым DS (D₁S₁, D₂S₂) и ES (E₁S₁, E₂S₂). Эти прямые пересекают ребро призмы в

точках 7 (7₁ 7₂) и 8 (8₁ 8₂) – в точках пересечения ребра призмы с гранями пирамиды. Соединяя каждые пары таких точек одних и тех же граней от- резками прямых, получаем две линии пересечения многогранников. Одна из них представляет собой пространственный многоугольник 138571 (1₁3₁8₁5₁7₁1₁, 1₂3₂8₂5₂7₂1₂), другая – треугольник 246 (2₁4₁6₁, 2₂4₂6₂).
Видимыми являются только те из отрезков многоугольников пересе- чения, которые принадлежат видимым граням многогранников; невидимые отрезки обозначаем на эпюре штриховыми линиями.
Отрезки 24 (2₁4₁, 2₂4₂) и 26 (2₁6₁, 2₂6₂) линии пересечения 246 (2₁4₁6₁, 2₂4₂6₂) видимы на фронтальной проекции. Они принадлежат видимым гра- ням призмы и пирамиды. Отрезок 46 (4₁6₁, 4₂6₂) является невидимым на фронтальной проекции. Этот отрезок принадлежит видимой на этой про- екции грани призмы и невидимой грани пирамиды. На фронтальной про- екции видимы отрезки 13 (1₁3₁, 1₂3₂) и 17 (1₁7₁, 1₂7₂) второй линии пересе-
чения, а отрезки 38 (3₁8₁, 3₂8₂), 85 (8₁5₁, 8₂5₂) и 75 (7₁5₁, 7₂5₂) этой линии невидимы.