Uc nöqtə funksiyanın limiti cəbr analizinin əsas anlayışlarından biridir. İlk dəfə yunan filosofları

Limit (lat. Limes - uc nöqtə) — funksiyanın limiti cəbr analizinin əsas anlayışlarından biridir. İlk dəfə yunan filosofları Arximed və Evklidin əsərlərində rast gəlinir. Müasir riyaziyyatda isə ingilis alimi İsaak Nyuton tərəfindən işlədilmişdir.
Ə
sas limitlər



Limitin bəzi xassələri

Ardıcıllıq, tam qiymətlər alan n arqumentinin funksiyasıdır.Tutaq ki, n arqumenti ardıcıl olaraq
1,2,3,...... (1)
qiymətlərini alır. Bu prosesi zamanla əlaqədar təsəvvür etsək (əlbəttə, n-nin dəyişməsinin zamanla heç bir əlaqəsi yoxdur), vaxt keçdikcə n dəyişəni istənilən böyük qiymətlər alaraq qeyri-məhdud artmaqda davam edəcəkdir.Qabaqcadan götürülmüş istənilən böyük hər bir N ədədi üçün elə bir an gələcəkdir ki, bu andan başlayaraq n dəyişəninin aldığı qiymətlər N ədədindən böyük olacaqdır. n-nin belə sonsuz artmasını qısa olaraq “n sonsuzluğa yaxınlaşır”və ya “n→∞” kimi ifadə edirlər. Bizim burada məqsədimiz y_n =f(n) funksiyasının n→∞ -da dəyişmə xarakterini öyrənməkdir.Bu məqsədlə, n→∞da y_n  11/n funksiyasını və yaxud

ardıcıllığının dəyişmə xarakterini izləyək.Bu ardıcıllığın bütün hədləri vahiddən fərqlidir, lakin n dəyişəni (1) qiymətlərini alaraq artdıqda y_n  11/n funksiyasının aldığı qiymətlər vahidəçox yaxın olur.

1-in istənilən ε -ətrafıüçün elə N=N(ε) ədədi(nömrəsi) var ki, (2) ardıcıllığının, nömrəsi N-dən kiçik olmayan bütün hədləri 1-in həmin ε-ətrafında yerləşir (şəkil 1).

Məsələn, ε= 1/10 olduqda N=11, ε=1/100 olduqda N=101, ε= 1/1000 olduqda N=1001 götürmək olar.(2) ardıcıllığının bu xassəsini belə ifadə edirlər: 1 ədədi n sonsuzluğa yaxınlaşdıqda (2) ardıcıllığının limitidir. Tutaq ki, A ədədi və y_n  ardıgıllığı verilmişdir.
Tərif.Tutaq ki, istənilən (kiçik) müsbət εədədi verildikdə elə müsbət N ədədi götürmək olur ki, n-in N-dən kiçik olmayan bütün qiymətlərində
bərabərsizliyi ödənilir. Onda A ədədinə n→∞-da y_n  ardıcıllığının limiti deyilir və

şəklində yazılır.(Burada lim işarəsi, mənası qayə(sərhəd) olan latın sözündən götürülmüşdür). Qeyd edək ki, A ədədi və y_n  ardıcıllığı verildikdə tərifdə göstərilən N ədədinin seçilməsi ε-dan asılıdır:
N=N(ε). εədədi azaldıqca seçilən N ədədi, ümumiyyətlə, artır. Onu da qeyd etmək lazımdır ki, verilən ε-na qarşı seçilən N(ε) ədədi yeganə deyil. Tərifdə N(ε) ədədinin ancaq varlığı tələb olunur, yeganəliyi isə tələb olunmur.(4) bərabərsizliyi

bərabərsizlikləri ilə eynigüclüdür. Buradan aydındır ki, A ədədi n→∞da y_n  ardıgıllığının limitidirsə, onda həmin ardıcıllığın yn-dən sonra gələn bütün hədləri A ədədinin ε-ətrafında yerləşir. Bu halda y_n ardıcıllığının ancaq sonlu sayda həddi(A-ε, A+ ε ) intervalında yerləşməyə bilər.
Deməli, a ədədi y_n=f(n) ardıcıllığının n→∞-da limitidirsə, onda n-nin kifayət qədər böyük qiymətlərində (4) bərabərsizliyi ödənilir.
Ardıcıllığın öz limitinə yaxınlaşma xarakteri müxtəlif ola bilər: ardıcıllıq artaraq, azalaraq və ya limit ətrafında rəqs edərək ona(öz limitinə) yaxınlaşa bilər.