|
\ a c \ < \ s a \ + \ s c \ ]
2
s
в
6-чизма.
2- Теоремаларни исботлашда умумлаштириш
Теоремаларни умумлаштириш жараёнида укувчилар унинг
шарт ва хулоса кисмини узаро ажратишлари хамда улар орасидаги
ухшаш ва фарк; томонларини анализ килишлари лозимдир.
Анализ килиш куйидаги боскичлар оркали амалга оширилади:
1) теоремада катнашаётган хоссаларни асосий ва асосий
булмаган хоссалар группасига ажратилади;
2) теоремани умумлаштириш учун унинг шартида катна
шаётган
асосий
хоссалар дан
кайси
бирининг
мазмунини
узгартириш кераклиги аникланади;
3) теорема умумлашган *олда исбот килинади.
Теорема. Агар бир тугри чизикда бир неча конгурент кесма
ажратилса, уларнинг учларидан иккинчи тугри чизикни кесувчи
узаро параллел тугри чизиклар утказилса, улар иккинчи тугр:(
чизикда узаро конгурент кесмалар ажратади (7-чизма).
178
D
a
Берилган:
[ABl[CD\ea,[AB]=[CD]-[AAl]f /[BB^
a
ICC,]//[DD,]
И с б о т к и л и ш к е р а к :
[ A fM C A h b .
Исботи.
Бу теоремани исботлашда учбурчаклар конгурентли-
гининг аломатидан фойдаланиш максадга мувофикдир.
Ч измадан,
[АВ]
[|
[
а
,
щ
л
\
c d
]
[[ [с,я].
AAjEB] = ACiHDi - учбурчакларнинг бир томони ва унга ёпиш-
ган бурчакларига ва конгурентлик аломатига кура. Бундан,
[^B,]=[C1D1]
g
6.
Фалес теоремасида асосан икки шарт бор: 1) а тугри чизикда
конгуруент кесмалар ажратилсин, 2) кесмаларнинг учларидан
b
тугри чизикни кесувчи параллел тугри чизиклар утказилсин.
Фараз килайлик,
а
тугри чизикда конгурент кесмалар эмас,
балки ихтиёрий кесмалар ажратайлик, у холда теореманинг
мазмуни куйидагича булади: «Агар бир тугри чизикда бир неча
ихтиёрий кесма ажратилса, уларнинг учларидан иккинчи тугри
чизикни кесувчи узаро параллел тугри чизиклар утказилса, улар
иккинчи тугри чизикда хам ихтиёрий кесмалар ажратади».
Берилган: ([/Ш],[яс|)б«; [/ЦШв^ШССЛИДО,]
™ *
\
лв\
М
Исбот килиш керак: Ьгт = Ь |-
|CD|
И с б о т и : Чизмадан (8-чизма):
(Л
А ,Е В Х
s Д
C .H D {)=>
Ш
(1). Бундан,
V 1 '
1
U
|с,£>,| |с,я} v 7 J
[л,£]//[лд];([с;я]//[с£)]);[д^] = [^];([с|я] = [с/)]). Бундан эса,
(ЦЬ>(|^|);(|С[Я! = |СЛ))) (2)
179
8-чизма.
(1)
тенгликдаги | AiEj ва |CiH| урнига (2) тенгликдаги АВ ва С Г)
ларни куйсак:
|CD|-jC,D,f ^
(3) тенглик пропорционал кесмалар хакидаги теореманинг на-
тижасидир. Демак, пропорционал кесмалар хакидаги теорема Фалес
теоремасининг умумлашган холи экан.
3. Масалаларни ечишда умумлаштириш
Бизга маълумки, мактаб геометрия курси дедуктив асосда
мантикий курилган фандир. Шунинг учун хам мактаб математика
курсидаги барча амалий материаллар укувчиларнинг мантикий
фикрлаш
кобилиятларини
хар
томонлама
шакллантиришга
каратилгандир. Бунга укитишнинг илмий изланиш методларидан
фойдаланиш оркалигина эришиш мумкин. Буни биз мисоллар
асосида кури б чикай лик.
1-мисол. Берилган икки кесмага урта пропорционал булган
кесмани ясаш коидасига асосланиб, бир-бирига тенг булмаган
ихтиёрий икки мусбат соннинг урта арифметиги шу сонларнинг
урта геометригидан катта эканлигини исбот килинг.
Берилган: а > О, b > 0 сонлар, бунда а * Ь.
Исбот килиш керак:
Исбот :
— ^— >
-Jab
'Jab =
0 =>
а + Ь- l^fab
> 0
i^\fa
- V&) > 0 ^
“
>4аЬ
180
Энди шу хоссанинг ихтиёрий 3 та мусбат сон учун тугри
эканлигини исбот килайлик, яъни va, b,
cgn
сонлар берилган
булиб, а > О, b > 0, с > 0, а ^ Ь ^ с булсин.
Исбот килиш керак:
^~^->lfabc
Исбот. Фараз килайлик, а = х3, b = у3, с = z3 булсин, у холда
^ Х
+'^
> ijx \v’z '
j => |V -г у1 + г > х/х’У 2’
+ У +
>3х>>г)=>
+
у' + z* -
3
xyz >
о)
(1)
Энди (1) тенгсизликни уринли эканлигини курсата олсак,
~~-^>^аЬс
тугри эканлиги келиб чикади.
Кх2
■+
у 2
+ z3 —
Зхуг) >
0]=»
{{х
+ у
-Ь z f -
3(ж + у +
z)
* (,tv +
x.z
+ у г) > 0]=>
[(г + у +
z
) * (xz + у 2 + z2 ~ (ху -г
xz
+- yz))] > 0. (2)
(2) даги (
x+y+z
) купайтувчи мусбат, чунки а > 0 , Ь > 0 , с > 0
(шартга асосан)
х2
+
у2
+ z2 -
(ху
+
-4-
yz)
ифоданинг киймати
мусбат
эканлигини
курсатсак,
(1)
тенгсизликнинг
мусбат
эканлигини курсатган б^ламиз:
(х2
+ >'2 + z2 — (ху
+xz
+
yz)
) = ^ (2х2 +
2у2
+2-г -
2ху
-
2xz - 2yz)
=>
=> ^ [(г- )2 +(х ~>)2 - (у - г)2 ] > 0
(3)
(3) тенгсизлик доимо берилишига кура мусбатдир, агар x-y^z
булса, (3) тенгсизлик нолга тенг булади, бу холда (1) тенгсизлик
тенгликка айланади.
Демак, а+^ + с >
\[аЬс
тенгсизлик уринли экан.
11. Фараз килайлик, берилган сонлар туртта булсин.
Берилган: а, Ь, с, d - сонлар; а > 0, b > 0, с > 0, d > 0;
Исбот килиш керак:
a + b + ctA
>
%jabcd
4
Исботи.
~~~>4ab
гаасосан
2
a + h c + d
_____________
________ _ _
2
2
l(a + b Y c + d'\ _ ^ a + b + c + d
V a+ bY c+ d^
2
‘i l T
A
' T
j =
4
2 Л “ Г 1 ~ |
A
(4)
булгани учун буларни (4) га куйсак:
181
a+b+c+d
Г г т r~J
a + b + c + d ^ „/
—
—--- > v V
• vcc/ => — —----- ^ -я abed.
4
4
Демак, я + + c
> Va^ct/ тенгсизлик уринли булади.
4
Энди юкоридаги тенгсизликни хар кандай п учун уринли деб,
математик индукция методи оркали умумлашган (n + I) кол учун
исбот киламиз:
а, +а, +а, + ... +а
—-----— г. = дг ;
67( + CZj + Д
-, +... + + *3Л.
/г -ь!
£>0
булсин
/i/V + iV + е
п
я
в + 1
,,
^„(W+l)+E^ Г.г
е
«+!
; I
л+1/
(л'..,Г' = К +-тг1 =Ar:,,+(«+i)-w:-TT+-^
V
И +1V
п
+ 1
> (/С1 + м„” - г) - ЛГ-(А^„ + е)=
NZa„tl;
((Л
г„+,)”+1
>
N"a„.,)=>
(v
Ht1
>
ф
л +1 )=>
=> А^, 2:
■
-<3„+
1.
т т л
<7. ■
+■
/3, Н“ <3‘я
+ <2нА(
,/
Демак, -J— -1— г— -— "—
п
+1
2-мисол. С нукта [АВ] кесмани тенг иккига булади. О ихтиёрий
нукта.
ос
векторни
ол =а, ов = ь
вектор л ар оркали ифодаланг (9-
чизма).
9-чизма.
Берилган: [АВ],
ол
= а,
ов = ь,
(
—►
л
АС
-= 1
СВ
=>| ЛС| =[СЯ|.
182
( ~ :
'
Е ч и ш : шартга кура:
и*
,
Do'stlaringiz bilan baham: |
