U. X. Xonqulov matematikaning stoxastika

2.5. Bog‘liqmas sinovlar ketma-ketligi. Bernulli sxemasi. Bino-
mial  taqsimot.  Ushbu  misolga  e‟tibor  beramiz:  tajriba  o„yin  soqqasini 
tashlashdan  iborat  bo„lsin.  Har  bir  sinovda  u  yoki  bu  sondagi  ochkolar 
chiqish  ehtimolligi  boshqa  sinovlarda  qanday  ochkolar  chiqqanligiga 
bog„liqmasligi ravshan. Bu yerda  bog„liqmas sinovlar ketma-ketligi ho-
sil bo„lmoqda.  

---

 
93 
Ta’rif.  Takrorlanadigan  sinovlarda  har  birining  u  yoki  bu  nati-
jasining  ehtimolligi  boshqa  sinovda qanday  natija  bo„lganligiga  bog„liq 
bo„lmasa, ular bog„liqmas sinovlar ketma-ketligini hosil qiladi, deyiladi.  
Agar  sinov  natijalarining  har  qanday  kombinatsiyasi  bog„liqmas 
hodisalar  to„plamidan  iborat  bo„lsa,  bu  sinovlar  bog„liqmas  sinovlar 
deyiladi.  Har  bir  sinov  natijasida  biror 
   hodisaning  ro„y  berishi  yoki 
ro„y  bermasligi  kuzatilib,  o„zaro  bog„liqmas  sinovlar  ketma-ketligini 
hosil  qilsa,  bu  sinovlar  ketma-ketligiga  Bernulli  sxemasi  deyiladi. 
  
hodisaning  ro„y  berish  ehtimolligi 
          sinovlar  tartibiga  bog„liq 
bo„lmaydi. 
  ta bog„liqmas sinovlarda   hodisa yo har xil ehtimollikka, 
yoki  bir  xil  ehtimollikka  ega  bo„lishi  mumkin.  Biz 
   hodisa  bir  xil 
ehtimollikka  ega  bo„lgan  sinashlarni  tekshiramiz.  Endi  quyidagicha 
qo„yilgan  masalani  qaraylik:  bir  xil  sharoitda  o„tkazilgan 
   ta 
bog„liqmas  sinovlarning  har  birida 
  hodisa          ehtimollik bilan 
ro„y  bersa  va    bu  hodisaning 
   ta  sinovda  rosa     marta  ro„y  berish 
ehtimolligini  topish  talab  etilsin.  Izlanayotgan  ehtimollikni 
 
 
     deb 
belgilaylik.   
Masalan, 
 
 
   -bog„liqmas 4 ta sinovda   hodisa rosa 3 marta ro„y 
berish ehtimolligini topamiz:  
 
 
       (    )    (    )    (    )    (    )     
 
   
   
 
 
 
 
 
   
 
ekanligini kuzatish mumkin. 
Yuqoridagi  misoldan  xulosa  qilib,  umumiy  holda  tajriba  bir  xil 
sharoitda 
   marta  takrorlanib,  biror     hodisaning  har  bir  sinovda  ro„y 
berish  ehtimolligi 
         ga teng bo„lsa,   hodisaning rosa   marta 
ro„y berish ehtimolligi binomial taqsimot yordamida topiladi: 
 
 
       
 
 
 
 
 
   
                                                 
bu yerda:  
            
 
 
 
  
         
  
 
 
    ehtimollar ehtimollik taqsimoti bo„lishligi quyidagi ifodadan 
kelib chiqadi: 
       ∑   ⍵    ∑  
 
 
 
 
 
   
  [           ]     
 
   
   
 
(1)  formula  bilan  aniqlangan 
 
 
     ehtimollar  binomial  taqsimot 
deyiladi va uni quyidagicha tushunish mumkin: 
  ta bog„liqmas sinovlar 
ketma-ketligida 
   hodisa  sinovlar  raqamiga  bog„liq  bo„lmasdan 
         ehtimollik bilan ro„y bersa,  
 
     bu hodisaning   ta sinovda 
rosa 
  marta ro„y berish ehtimolligiga teng.  
 
    binomial taqsimotni   

---

 
94 
songa  nisbatan  qanday  o„zgarishini  qaraylik.  Buning  uchun  quyidagi 
nisbatni ko„ramiz:  
 
 
     
 
 
   
 
 
       
 
 
     
  (
     
 
   )  
Bu nisbat 
  soni o„sgan sari kamayadi va 
 
   
    bo„lsa, u birdan katta, 
 
   
    bo„lsa, birdan kichik bo„ladi. Demak,  
 
    ehtimollik oldin   
o„sganida  monoton  o„sadi,  keyin 
 
   
     bo„lganida  esa  kamayadi  va 
 
 
     ehtimollik       
 
  [      ]  bo„lganda,  eng  katta  qiymatga 
erishadi. Demak, 
  ta bog„liqmas sinovlar ketma-ketligida   hodisaning 
 
 
  marta  ro„y  berishi  ehtimolligi  qolgan  sinovlarning  mumkin  bo„lgan 
natijalari  ehtimolligidan  katta  bo„lsa, 
 
 
  eng  ehtimolli  son  deyiladi.  Bu 
ehtimollikni quyidagicha ham hisoblash mumkin: 
          
 
         
a) agar 
       kasr son bo„lsa, bitta eng ehtimolli   
 
 son mavjud; 
b)  agar 
        butun  son  bo„lsa,  ikkita  eng  ehtimolli  son   
 
  va 
 
 
    mavjud; 
d) agar 
   butun son bo„lsa, eng ehtimolli son  
 
     bo„ladi.  
Bernulli  sxemasida 
   hodisaning  ro„y  berishlari  soni     sondan 
katta bo„lmaslik ehtimolligi: 
 
 
      ∑  
 
 
 
 
 
   
 
 
   
 
Agar 
   va     soni  katta  son  bo„lsa,  bu  formuladan  foydalanish 
ancha  murakkabliklarni  keltirib  chiqaradi.  Bunday  hollarda  quyidagi 
taqribiy formuladan foydalanish maqsadga muvofiq: 
 
 
       
 
     
               
               
  
   hodisaning  kamida   
 
  va  ko„pi  bilan 
 
 
  martagacha  ro„y  berish 
ehtimolligi:  
 
 
  
 
   
 
    ∑  
 
 
 
 
 
   
 
 
 
   
 
 
  ta sinovda hodisaning kamida bir marta ro„y berishi ehtimolligi: 
 
 
              
 
 
1-misol.  Ishchi  ishlov  berayotgan  detallar  orasida  o„rtacha  4%i 
nostandart  bo„ladi.  Sinash  uchun  olingan  30  ta  detaldan  ikkitasi 
nostandart  bo„lish  ehtimolligini  toping.  Qaralayotgan  30  ta  detaldan 

---

 
95 
iborat  tanlanmada  nostandart  detallarning  eng  ehtimolli  soni  qancha  va 
uning ehtimolligi qancha?